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Agrégation interne 2012 — Épreuve 2

Valeurs d'adhérence d'une suite · 7 pages

Le sujet étudie l'ensemble $V(u)$ des valeurs d'adhérence d'une suite dans un espace normé de dimension finie : fermeture, compacité, caractérisation de la convergence, exemples construits à partir de l'écriture $n = 2^p + k$ , limite inférieure et connexité de $V(u)$ pour une suite bornée à évolution lente. Il examine ensuite les suites itératives de l'application tente, ultimement périodiques si et seulement si le premier terme est rationnel, définit la force d'un point par rapport à une suite, et justifie enfin un algorithme qui compte les valeurs d'adhérence par les composantes connexes d'une union de segments.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I.A — Premières propriétés de $V(u)$ p. 2–3

Valeurs d'adhérence, limites inférieure et supérieure · Compacité · Topologie, compacité, connexité · Espaces vectoriels normés — valeur d'adhérence, suite extraite, adhérence, fermé, compact non vide, convergence d'une suite bornée

Partie I.B — Exemples p. 3–4

Valeurs d'adhérence, limites inférieure et supérieure · Informatique et algorithmique · Numération et écriture en base b · Densité — partie discrète, suite stationnaire, décomposition $n = 2^p + k$ , algorithme, ensemble des valeurs d'adhérence

Partie I.C — Limite inférieure d'une suite réelle p. 4

Valeurs d'adhérence, limites inférieure et supérieure — limite inférieure, borne inférieure, suite monotone bornée, plus petite valeur d'adhérence

Partie I.D — Suites à évolution lente p. 4–5

Valeurs d'adhérence, limites inférieure et supérieure · Connexité · Compacité · Topologie, compacité, connexité — suite à évolution lente, ensemble connexe, distance entre deux compacts, raisonnement par l'absurde

Partie II — Valeurs d'adhérence de suites itératives p. 5

Valeurs d'adhérence, limites inférieure et supérieure · Points fixes et suites itératives · Nombres rationnels et décimaux · Compacité · Suites numériques — suite récurrente, application tente, ensemble invariant, suite périodique à partir d'un certain rang, nombres rationnels

Partie III — Force d'un point par rapport à une suite p. 6

Valeurs d'adhérence, limites inférieure et supérieure · Séries numériques · Dénombrement et combinatoire — force d'un point, proportion de termes, limite inférieure, valeur d'adhérence, densité asymptotique

Partie IV — Algorithme déterminant le nombre de valeurs d'adhérence p. 7

Informatique et algorithmique · Valeurs d'adhérence, limites inférieure et supérieure · Connexité — algorithme, composantes connexes, union de segments, tri, suite stationnaire