AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Nord Terminale 2012 — Session normale, 31 mai 2012

Probabilités conditionnelles et loi binomiale, fonction logarithme et asymptote oblique, fonction de dérivée $\frac{1}{1+x^2}$ et suite d'intégrales, transformations complexes, similitude et équations diophantiennes · 4 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice calcule des probabilités conditionnelles dans une association sportive, puis utilise une loi binomiale, un seuil sur $p_n = 1 - \left(\frac{7}{10}\right)^n$ et l'espérance d'un gain à une loterie à tirage simultané. Le deuxième redémontre que $\frac{\ln x}{x}$ tend vers 0 en $+\infty$ , étudie $f(x) = x - \frac{\ln x}{x}$ , son asymptote oblique $y = x$ , et écrit un algorithme de seuil. Le troisième étudie une fonction $f$ telle que $f(0) = 0$ et $f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$ en la composant avec la tangente, obtient $f(1) = \frac{\pi}{4}$ , puis encadre la suite $I_n = \int_0^1 x^n f(x)\,\mathrm{d}x$ . Le quatrième exercice, au choix, étudie l'application $z \mapsto z^2$ (points invariants, antécédents, triangle rectangle isocèle, alignement) ou, pour la spécialité, une similitude directe et des équations en nombres entiers.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Probabilités conditionnelles, loi binomiale et espérance d'un gain p. 1

Probabilités totales et formule de Bayes · Lois de Bernoulli et binomiale · Espérance, variance, moments · Coefficients binomiaux — probabilités totales, probabilité conditionnelle inversée, loi binomiale, $p_n = 1 - \left(\frac{7}{10}\right)^n$ , seuil, tirage simultané, espérance d'un gain

Exercice 2 — Croissances comparées, étude d'une fonction logarithme, asymptote oblique et algorithme de seuil p. 2

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Limites de fonctions et asymptotes · Informatique et algorithmique — restitution organisée de connaissances, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ , $f(x) = x - \frac{\ln x}{x}$ , fonction auxiliaire, asymptote oblique, position relative, algorithme de seuil

Exercice 3 — Fonction de dérivée $\frac{1}{1+x^2}$ , composition avec la tangente et suite d'intégrales p. 2–3

Dérivabilité · Fonctions trigonométriques · Intégrale sur un segment · Suites numériques — $f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$ , dérivée d'une composée, fonction tangente, $f(1) = \frac{\pi}{4}$ , intégration par parties, $I_n = \int_0^1 x^n f(x)\,\mathrm{d}x$ , encadrement et limite

Exercice 4 (numéroté 3 dans le PDF) — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — L'application $z \mapsto z^2$ p. 3

Nombres complexes · Géométrie affine et euclidienne — $z' = z^2$ , points invariants, forme exponentielle, antécédents, imaginaire pur, rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ , triangle rectangle isocèle, alignement

Exercice 4 (numéroté 5 dans le PDF) — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Similitude directe, équation diophantienne et congruences p. 4

Nombres complexes · PGCD, Bézout, Gauss · Congruences et Z/nZ · Géométrie affine et euclidienne — similitude directe, $z' = 5\mathrm{i}z + 6\mathrm{i} + 4$ , équation $4a + 3b = 5$ , points à coordonnées entières, congruences modulo 2 et 5, $x'^2 - y'^2 = 20$