AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Nord Terminale 2018 — Session normale, 29 mai 2018

Lois exponentielle et normale, probabilités totales et loi binomiale (supermarché), maximum d'une fonction logarithme, perpendiculaire commune, courbe de poursuite par suite et par fonction ou matrices proies-prédateurs · 8 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice démontre que l'espérance d'une loi exponentielle de paramètre $0{,}2$ vaut 5 grâce à la primitive $G(t) = (-t-5)\mathrm{e}^{-0{,}2t}$ , détermine l'écart-type d'une loi normale, fixe une proportion minimale par la formule des probabilités totales et étudie le nombre de cartes gagnantes par une loi binomiale. Le deuxième montre que le maximum de $f(x) = bx + 2\ln(1-x)$ vaut $b - 2 + 2\ln\frac{2}{b}$ et en déduit les valeurs de $b$ pour lesquelles la hauteur maximale ne dépasse pas 1,6 mètre, puis l'angle de tir pour $b = 5{,}69$ , et le troisième détermine la perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires et prouve qu'elle réalise la distance minimale. Au choix, les non-spécialistes modélisent la poursuite d'un scooter par un chien, d'abord par une suite de points calculée au tableur, puis par la courbe de $f(x) = -2{,}5\ln(1 - 0{,}2x) - 0{,}5x + 0{,}05x^2$ et une tangente, et les spécialistes étudient deux modèles proies-prédateurs, l'un linéaire par $A = PDP^{-1}$ , l'autre non linéaire au tableur avec recherche d'un état stable.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Espérance d'une loi exponentielle, loi normale, probabilités totales et loi binomiale p. 1–2

Loi exponentielle · Loi normale et vecteurs gaussiens · Probabilités totales et formule de Bayes · Lois de Bernoulli et binomiale · Intégrale sur un segment · Fonctions exponentielle et logarithme · Intégrales généralisées et intégrabilité — $G(t) = (-t-5)\mathrm{e}^{-0{,}2t}$ , espérance d'une loi exponentielle, écart-type inconnu, probabilités totales, au moins un succès, seuil de probabilité

Exercice 2 — Maximum de $f(x) = bx + 2\ln(1-x)$ et angle de tir p. 2–3

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Fonctions trigonométriques — $f(x) = bx + 2\ln(1-x)$ , maximum, $b - 2 + 2\ln\frac{2}{b}$ , inéquation, tangente, angle de tir

Exercice 3 — Perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires et distance minimale p. 3–4

Géométrie vectorielle dans l'espace — représentation paramétrique, droites non coplanaires, perpendiculaire commune, distance entre deux droites, théorème de Pythagore

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Courbe de poursuite : suite de points, tableur, fonction logarithme et tangente p. 4–8

Suites numériques · Dérivabilité · Fonctions exponentielle et logarithme · Informatique et algorithmique · Limites de fonctions et asymptotes — courbe de poursuite, suite de points, feuille de calcul, suite décroissante minorée, $f(x) = -2{,}5\ln(1 - 0{,}2x) - 0{,}5x + 0{,}05x^2$ , tangente, limite de $d(x)$

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Modèles proies-prédateurs : matrice $A = PDP^{-1}$ , tableur et état stable p. 5–7

Calcul matriciel · Suites numériques · Informatique et algorithmique — $U_{n+1} = AU_n$ , $A = PDP^{-1}$ , puissance d'une matrice diagonale, modèle non linéaire, feuille de calcul, état stable

Dans l'édifice

Lois de Poisson et loi exponentielle La loi normale Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Exponentielle et logarithme Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Dérivabilité Fonctions trigonométriques Espaces vectoriels et sous-espaces Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème de définition par récurrence Limite d'une fonction en un point Matrices d'une application linéaire