AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Sud Terminale 2019 — Session normale, 8 novembre 2019

Loi exponentielle, arbre pondéré et loi normale, fonction exponentielle et valeur moyenne, cube et plan de l'espace, suite homographique ou PGCD et puissances d'une matrice · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie la durée de vie d'un chronomètre par une loi exponentielle, l'origine d'un roulement défectueux par un arbre pondéré et la formule de Bayes, puis le diamètre d'un roulement par une loi normale, avec un intervalle de fluctuation et la recherche de l'écart-type $\sigma$ . Le deuxième exercice étudie la fonction $f(t) = 3t\mathrm{e}^{-\frac{1}{4}t} + 2$ (variations, solution de $f(t_0) = 2{,}5$ par le théorème des valeurs intermédiaires) et calcule une valeur moyenne à l'aide d'une primitive, et le troisième construit la section d'un cube par le plan $(MNP)$ , détermine le projeté orthogonal $K$ de $G$ sur ce plan et le volume de la pyramide $GMEDI$ . Au choix, les non-spécialistes étudient la suite $u_{n+1} = 3 - \frac{10}{u_n + 4}$ à l'aide d'une suite géométrique auxiliaire et d'un algorithme de seuil, et les spécialistes calculent $\mathrm{PGCD}(4^3 - 1, 4^2 - 1)$ par soustractions successives puis expriment la suite $u_{n+2} = 5u_{n+1} - 4u_n$ par diagonalisation pour en déduire $\mathrm{PGCD}(4^{n+1} - 1, 4^n - 1)$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Loi exponentielle, probabilités conditionnelles et loi normale avec intervalle de fluctuation p. 1–2

Loi exponentielle · Conditionnement et indépendance · Loi normale et vecteurs gaussiens · Statistique : estimation et tests · Probabilités totales et formule de Bayes — durée de vie, arbre pondéré, formule de Bayes, intervalle de fluctuation asymptotique, $\frac{X - 8}{\sigma}$ , loi normale centrée réduite, roulements

Exercice 2 — Fonction exponentielle : variations, théorème des valeurs intermédiaires et valeur moyenne p. 2

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Continuité · Intégrale sur un segment — $f(t) = 3t\mathrm{e}^{-\frac{1}{4}t} + 2$ , $f'(t) = \frac{3}{4}(4 - t)\mathrm{e}^{-\frac{1}{4}t}$ , théorème des valeurs intermédiaires, primitive, valeur moyenne d'une fonction, vasopressine

Exercice 3 — Section d'un cube, vecteur normal, projeté orthogonal et volume d'une pyramide p. 3

Géométrie vectorielle dans l'espace — section d'un cube, plan $(MNP)$ , $\vec{n}(1 ; 2 ; 2)$ , équation cartésienne d'un plan, projeté orthogonal, distance $GK$ , pyramide $GMEDI$

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Suite homographique, suite géométrique auxiliaire et algorithme de seuil p. 3–4

Suites numériques · Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique — $u_{n+1} = 3 - \frac{10}{u_n + 4}$ , $v_n = \frac{u_n - 1}{u_n + 2}$ , raisonnement par récurrence, suite monotone minorée, suite géométrique, algorithme de seuil

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — PGCD par soustractions, suite récurrente linéaire et diagonalisation p. 4–6

PGCD, Bézout, Gauss · Calcul matriciel · Suites récurrentes linéaires · Diagonalisation · Informatique et algorithmique — $\mathrm{PGCD}(a, b) = \mathrm{PGCD}(a - b, b)$ , $u_{n+2} = 5u_{n+1} - 4u_n$ , $A^n = PD^nP^{-1}$ , $u_n = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times 4^n$ , $\mathrm{PGCD}(4^{n+1} - 1, 4^n - 1)$ , algorithme d'Euclide par différences

Dans l'édifice

Lois de Poisson et loi exponentielle Indépendance d'événements et de tribus La loi normale Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Exponentielle et logarithme Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Espaces vectoriels et sous-espaces Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème de définition par récurrence PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Matrices d'une application linéaire