AnnalesBaccalauréat

Bac Antilles-Guyane Terminale 2015 — Session normale, 22 juin 2015

Intersection de la courbe du logarithme et de paraboles, loi exponentielle et circuits, suite complexe $z_{n+1} = \frac{z_n + |z_n|}{4}$ , suite récurrente avec suite géométrique auxiliaire ou codage affine · 8 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice conjecture graphiquement puis démontre, selon le réel $a > 0$ , le nombre de points communs à la courbe de $\ln$ et à la parabole d'équation $y = ax^2$ , par l'étude de $h_a(x) = \ln x - ax^2$ . Le deuxième exercice établit que l'espérance d'une loi exponentielle vaut $\frac{1}{\lambda}$ , l'applique à la durée de vie d'un composant, puis compare des montages en série et en parallèle. Le troisième exercice étudie le comportement de $|z_n|$ pour la suite $z_{n+1} = \frac{z_n + |z_n|}{4}$ selon le premier terme. Au choix, les non-spécialistes étudient la suite $u_{n+1} = 0{,}5u_n + 0{,}5n - 1{,}5$ et un algorithme, et les spécialistes un algorithme d'Euclide et un codage affine modulo 26.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Fonction $\ln x - ax^2$ : nombre de points d'intersection d'une courbe et d'une parabole p. 1–2

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Continuité — $h_a(x) = \ln x - ax^2$ , conjecture graphique, tableau de variation, maximum d'une fonction, nombre de solutions d'une équation, fonction à paramètre

Exercice 2 — Loi exponentielle : espérance, durée de vie et circuits en série ou en parallèle p. 2–3

Loi exponentielle · Conditionnement et indépendance · Espérance, variance, moments · Intégrale sur un segment — loi exponentielle, espérance $E(X) = \frac{1}{\lambda}$ , primitive, absence de mémoire, événements indépendants, circuit en série et en parallèle

Exercice 3 — Suite de nombres complexes $z_{n+1} = \frac{z_n + |z_n|}{4}$ et comportement du module p. 3–4

Nombres complexes · Suites numériques — module, construction géométrique, suite de nombres complexes, conjecture, limite du module

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Algorithme, suite récurrente $u_{n+1} = 0{,}5u_n + 0{,}5n - 1{,}5$ et suite géométrique auxiliaire p. 4–5

Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique — $u_{n+1} = 0{,}5u_n + 0{,}5n - 1{,}5$ , algorithme, raisonnement par récurrence, suite géométrique auxiliaire, sens de variation, limite

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Algorithme d'Euclide et codage affine modulo 26 p. 5–6

PGCD, Bézout, Gauss · Cryptographie · Informatique et algorithmique — algorithme d'Euclide, nombres premiers entre eux, théorème de Bézout, codage affine, inverse modulo 26, décodage

Dans l'édifice

Exponentielle et logarithme Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Lois de Poisson et loi exponentielle Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème de définition par récurrence PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Les anneaux ℤ/nℤ