AnnalesBaccalauréat

Bac Antilles-Guyane Terminale 2019 — Session normale, 18 juin 2019

Fonction logistique et valeur moyenne, droites et plans de l'espace et distance entre deux droites, vrai-faux sur les complexes, probabilités conditionnelles, loi normale et loi exponentielle ou matrices et suites couplées · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice détermine les paramètres de $f(x) = \frac{a}{1 + \mathrm{e}^{-bx}}$ à partir d'un point et d'une tangente, puis étudie la proportion $p(x) = \frac{1}{1 + \mathrm{e}^{-0{,}2x}}$ (variations, limite, seuil de saturation) et calcule sa valeur moyenne entre 8 et 10 à l'aide d'une primitive. Le deuxième exercice modélise les trajectoires rectilignes de deux drones : intersection d'une droite et du plan $(PQU)$ , puis distance minimale entre deux droites non coplanaires, atteinte pour $a = \frac{16}{17}$ et $b = 1$ ; le troisième est un vrai-faux sur $c = \frac{1}{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$ (forme algébrique, puissances, alignement, somme des modules). Au choix, les non-spécialistes traitent un arbre pondéré avec une probabilité inconnue, une loi normale et une loi exponentielle dont on teste la durée de vie moyenne annoncée, et les spécialistes étudient l'évolution de la météo par $U_{n+1} = MU_n + R$ , un point fixe et les puissances de $M$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Fonction logistique : détermination de paramètres, variations, seuil et valeur moyenne p. 1–2

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = \frac{a}{1 + \mathrm{e}^{-bx}}$ , tangente, $p(x) = \frac{1}{1 + \mathrm{e}^{-0{,}2x}}$ , $m = \frac{1}{2}\int_8^{10} p(x)\,\mathrm{d}x$ , valeur moyenne, primitive, saturation du marché

Exercice 2 — Trajectoires de drones : plan, intersection et distance minimale entre deux droites p. 2–3

Géométrie vectorielle dans l'espace — représentation paramétrique, $\vec{n}(0 ; 1 ; -1)$ , plan $(PQU)$ , droites non coplanaires, perpendiculaire commune, distance $MN$ minimale

Exercice 3 — Vrai-faux sur les nombres complexes : forme exponentielle, puissances et alignement p. 3–4

Nombres complexes · Suites arithmétiques et géométriques — vrai-faux, $c = \frac{1}{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$ , $c^{3n}$ , alignement de points, somme des termes d'une suite géométrique, module

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Arbre pondéré, loi normale et loi exponentielle p. 4–5

Conditionnement et indépendance · Loi normale et vecteurs gaussiens · Loi exponentielle · Probabilités totales et formule de Bayes · Espérance, variance, moments — arbre pondéré, $p(E) = 0{,}44x + 0{,}14$ , formule de Bayes, $P(T \geqslant t) = 0{,}066$ , loi exponentielle, durée de vie moyenne

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Évolution météorologique : suite matricielle et point fixe p. 5

Calcul matriciel · Chaînes de Markov · Suites numériques — $U_{n+1} = MU_n + R$ , $Y = MY + R$ , $V_n = U_n - Y$ , $V_n = M^nV_0$ , puissances d'une matrice, limite d'une suite de probabilités

Dans l'édifice

Exponentielle et logarithme Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Limite d'une fonction en un point Espaces vectoriels et sous-espaces Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Suites réelles et limites Indépendance d'événements et de tribus La loi normale Lois de Poisson et loi exponentielle Espérance, variance et inégalités Matrices d'une application linéaire Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ