AnnalesBaccalauréat

Bac Asie Terminale 2013 — Session normale, 18 juin 2013

Probabilités conditionnelles, loi binomiale et fluctuation, tangentes communes à deux courbes exponentielles, vrai-faux complexes et espace, suites homographiques ou matrice de transformation · 8 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

L'exercice 1 traite la provenance de boîtes de thé par un arbre pondéré et la formule de Bayes, puis une loi binomiale et un intervalle de fluctuation pour tester une publicité. L'exercice 2 cherche les tangentes communes aux courbes de $x \mapsto \mathrm{e}^x$ et $x \mapsto 1 - \mathrm{e}^{-x}$ , ce qui conduit à étudier $\varphi(x) = 2(x-1)\mathrm{e}^x + 1$ et ses deux zéros. L'exercice 3 est un vrai-faux sur des nombres complexes, une droite et un plan de l'espace, et l'orthogonalité dans un cube. L'exercice 4 étudie soit deux suites homographiques, l'une par monotonie, l'autre par la suite géométrique $v_n = \frac{u_n - 1}{u_n + 1}$ , soit, en spécialité, les itérées d'une transformation du plan définie par une matrice $2 \times 2$ dont on calcule les puissances par récurrence.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Formule de Bayes, loi binomiale et intervalle de fluctuation p. 1–2

Probabilités totales et formule de Bayes · Lois de Bernoulli et binomiale · Statistique : estimation et tests — arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle inverse, loi binomiale, $P(X \geqslant 8)$ , intervalle de fluctuation asymptotique

Exercice 2 — Tangentes communes aux courbes de $x \mapsto \mathrm{e}^x$ et $x \mapsto 1 - \mathrm{e}^{-x}$ p. 2–8

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Continuité — tangente commune, coefficient directeur, $\varphi(x) = 2(x-1)\mathrm{e}^x + 1$ , théorème des valeurs intermédiaires, nombre de solutions d'une équation

Exercice 3 — Vrai-faux : alignement et cocyclicité de points en complexes, droite et plan, orthogonalité dans un cube p. 3–4

Nombres complexes · Géométrie vectorielle dans l'espace — vrai ou faux, alignement de trois points, cocyclicité de trois points, intersection d'une droite et d'un plan, orthogonalité de deux droites, cube

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité — Suites homographiques et suite géométrique auxiliaire p. 4–5

Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique — $u_{n+1} = \frac{1 + 3u_n}{3 + u_n}$ , raisonnement par récurrence, suite monotone bornée, $v_n = \frac{u_n - 1}{u_n + 1}$ , suite géométrique de raison $-\frac{1}{3}$

Exercice 4 — Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité — Itérées d'une transformation matricielle du plan p. 5–7

Calcul matriciel · Suites numériques · Informatique et algorithmique — matrice d'une transformation, puissance d'une matrice, raisonnement par récurrence, $\alpha_n = 2^{n-1} + \frac{1}{2^{n+1}}$ , correction d'un algorithme, limite infinie

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Exponentielle et logarithme Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Espaces vectoriels et sous-espaces Suites réelles et limites Théorème de définition par récurrence Matrices d'une application linéaire Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ