AnnalesBaccalauréat

Bac Centres étrangers Terminale 2012 — Session normale, 13 juin 2012

Géométrie dans le cube, suite d'intégrales et intégration par parties, équation $\mathrm{e}^x = 3(x^2 + x^3)$ , vrai-faux de probabilités et de complexes, vrai-faux d'arithmétique et de similitudes · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice, dans un cube, étudie deux droites sécantes selon un paramètre, un parallélogramme, puis la section du cube par un plan dont on détermine une équation et ses points d'intersection avec les droites $(BF)$ et $(DH)$ . Le deuxième étudie la suite $I_n = \int_0^1 x^n\mathrm{e}^{x^2}\,\mathrm{d}x$ , établit par intégration par parties une relation entre $I_{n+2}$ et $I_n$ , interprète un algorithme, puis démontre la convergence et cherche la limite. Le troisième confronte une conjecture graphique sur le nombre de solutions de $\mathrm{e}^x = 3(x^2 + x^3)$ à l'étude d'une fonction auxiliaire logarithmique. Le quatrième exercice est, au choix, un vrai-faux sur une formule de Bayes, un tirage simultané et des nombres complexes, ou, pour la spécialité, un vrai-faux sur les équations diophantiennes, le PGCD, la division euclidienne et les similitudes.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Géométrie dans le cube : droites sécantes, parallélogramme et section par un plan p. 1–2

Géométrie vectorielle dans l'espace — cube, représentation paramétrique, droites sécantes, parallélogramme, vecteur normal, équation cartésienne d'un plan, section d'un cube par un plan

Exercice 2 — Suite d'intégrales, intégration par parties et algorithme p. 2–3

Intégrale sur un segment · Suites numériques · Fonctions exponentielle et logarithme · Informatique et algorithmique — $I_n = \int_0^1 x^n\mathrm{e}^{x^2}\,\mathrm{d}x$ , primitive, intégration par parties, relation de récurrence, suite décroissante minorée, limite

Exercice 3 — Nombre de solutions de $\mathrm{e}^x = 3(x^2 + x^3)$ : conjecture graphique et fonction auxiliaire p. 3–5

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Continuité · Second degré — conjecture graphique, signe d'un polynôme, fonction auxiliaire, $h(x) = \ln 3 + \ln(x^2) + \ln(1+x) - x$ , théorème des valeurs intermédiaires, valeurs approchées des solutions

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Vrai-faux de probabilités et de nombres complexes p. 5–6

Probabilités totales et formule de Bayes · Coefficients binomiaux · Nombres complexes · Géométrie affine et euclidienne — vrai-faux, arbre pondéré, formule de Bayes, tirage simultané, nature d'une transformation, $z^2 - z\overline{z} - 1 = 0$ , angle d'un triangle

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Vrai-faux d'arithmétique et de similitudes p. 6

PGCD, Bézout, Gauss · Congruences et Z/nZ · Nombres complexes · Géométrie affine et euclidienne — vrai-faux, équation $3x - 2y = 1$ , PGCD, division euclidienne, similitude directe réciproque, angle d'une similitude