AnnalesBaccalauréat

Bac Centres étrangers Terminale 2013 — Session normale, 12 juin 2013

Loi exponentielle, probabilités conditionnelles, fluctuation et loi normale, géométrie dans l'espace, aires et exponentielle, suite récurrente ou modèle matriciel · 7 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

L'exercice 1 étudie des vannes électroniques dont la durée de vie suit une loi exponentielle, le fonctionnement d'un circuit de trois vannes avec une probabilité conditionnelle, un intervalle de fluctuation, puis une demande mensuelle modélisée par une loi normale. L'exercice 2 est un vrai-faux de géométrie dans l'espace sur des plans et des droites. L'exercice 3 partage en deux parties d'égale aire le domaine sous la courbe de $g(x) = 1 + \mathrm{e}^{-x}$ sur $[0, 1]$ , d'abord par une droite verticale, ce qui conduit à une équation dont le théorème des valeurs intermédiaires assure l'unique solution, approchée au centième, puis par une droite horizontale. L'exercice 4 étudie soit la suite $u_{n+1} = \frac{nu_n + 1}{2(n+1)}$ par la suite géométrique $v_n = nu_n - 1$ , soit, en spécialité, l'évolution de deux populations d'oiseaux par une matrice $2 \times 2$ et ses puissances.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Loi exponentielle, probabilité conditionnelle, intervalle de fluctuation et loi normale p. 1–2

Loi exponentielle · Conditionnement et indépendance · Statistique : estimation et tests · Loi normale et vecteurs gaussiens — durée de vie moyenne, loi exponentielle, circuit en parallèle, événements indépendants, intervalle de fluctuation asymptotique, loi normale $\mathcal{N}(800\,; 40^2)$

Exercice 2 — Vrai-faux de géométrie dans l'espace : plans et droites p. 2–3

Géométrie vectorielle dans l'espace — vrai ou faux, plans parallèles, représentation paramétrique, intersection d'une droite et d'un plan, orthogonalité d'une droite et d'un plan

Exercice 3 — Partage d'une aire sous la courbe de $x \mapsto 1 + \mathrm{e}^{-x}$ p. 3–4

Intégrale sur un segment · Fonctions exponentielle et logarithme · Continuité · Dérivabilité — aire sous une courbe, primitive, partage d'une aire, théorème des valeurs intermédiaires, $f(x) = 2x - 2\mathrm{e}^{-x} + \frac{1}{\mathrm{e}}$

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas choisi la spécialité — Suite $u_{n+1} = \frac{nu_n + 1}{2(n+1)}$ et suite géométrique auxiliaire p. 4–5

Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique — algorithme à compléter, conjecture, $v_n = nu_n - 1$ , suite géométrique, $u_n = \frac{1 + 0{,}5^n}{n}$ , algorithme de seuil

Exercice 4 — Candidats ayant choisi la spécialité — Populations sur deux îles et puissances d'une matrice p. 5–7

Calcul matriciel · Suites numériques · Informatique et algorithmique — dynamique de populations, $U_{n+1} = MU_n$ , puissance d'une matrice, raisonnement par récurrence, correction d'un algorithme, stabilisation à long terme

Dans l'édifice

Lois de Poisson et loi exponentielle Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass La loi normale Espaces vectoriels et sous-espaces Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Exponentielle et logarithme Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Dérivabilité Suites réelles et limites Théorème de définition par récurrence Matrices d'une application linéaire Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ