AnnalesBaccalauréat

Bac Centres étrangers Terminale 2019 — Session normale, 13 juin 2019 (Centres étrangers, Pondichéry)

QCM de probabilités (lois binomiale, normale, exponentielle, intervalle de confiance), suite récurrente et suite d'intégrales, complexes et alignement, plan et section d'un cube ou décompositions arithmétiques de 40 · 8 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice est un QCM sur une station de ski qui mobilise une loi binomiale, une loi normale d'écart-type inconnu, une loi exponentielle d'espérance 5 et la taille d'échantillon d'un intervalle de confiance. Le deuxième exercice étudie la suite $u_{n+1} = (n+1)u_n - 1$ , dont un algorithme fait conjecturer un comportement très sensible à $u_1$ , puis la suite d'intégrales $I_n = \int_0^1 x^n\mathrm{e}^{1-x}\,\mathrm{d}x$ , qu'il encadre et dont il calcule la limite, avant d'établir $u_n = n!\,(u_1 - \mathrm{e} + 2) + I_n$ pour trancher entre les cas $u_1 = 0{,}7$ et $u_1 = 0{,}8$ . Le troisième cherche les complexes $z$ non nuls pour lesquels les points d'affixes $1$ , $z^2$ et $\frac{1}{z}$ sont alignés, condition ramenée au fait que $z^2 + z + 1$ est réel. Au choix, les non-spécialistes déterminent le plan $(PQR)$ d'équation $x - y + z - 2 = 0$ , le projeté du centre du cube et la section du cube par ce plan, et les spécialistes résolvent $20x + 19y = 40$ et $x^2 - y^2 = 40$ , puis montrent par congruences modulo 9 que 40 n'est pas une « somme » de trois cubes.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — QCM : loi binomiale, loi normale, loi exponentielle et intervalle de confiance p. 1

Lois de Bernoulli et binomiale · Loi normale et vecteurs gaussiens · Loi exponentielle · Statistique : estimation et tests — QCM, $P(X \geqslant 200) = 0{,}025$ , $E(T) = 5$ , $P(T \geqslant 5)$ , intervalle de confiance, taille d'échantillon

Exercice 2 — Suite récurrente, suite d'intégrales et factorielle p. 2–3

Suites numériques · Intégrale sur un segment · Informatique et algorithmique · Fonctions exponentielle et logarithme — $u_{n+1} = (n+1)u_n - 1$ , $I_n = \int_0^1 x^n\mathrm{e}^{1-x}\,\mathrm{d}x$ , $F(x) = (-1 - x)\mathrm{e}^{1-x}$ , $0 \leqslant I_n \leqslant \frac{\mathrm{e}}{n+1}$ , $u_n = n!\,(u_1 - \mathrm{e} + 2) + I_n$ , raisonnement par récurrence, factorielle

Exercice 3 — Nombres complexes : alignement de trois points et ensemble de points p. 3–5

Nombres complexes · Second degré — $z^2 + z + 1 = 0$ , forme exponentielle, $z^2 - \frac{1}{z} = (z^2 + z + 1)\left(1 - \frac{1}{z}\right)$ , vecteurs colinéaires, alignement, ensemble de points

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Plan dans un cube, droite orthogonale et section p. 5

Géométrie vectorielle dans l'espace — cube, plan $(PQR)$ , $x - y + z - 2 = 0$ , vecteur normal, distance $\Omega I$ , section d'un cube

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Équation diophantienne, différence de carrés et sommes de cubes modulo 9 p. 5–7

PGCD, Bézout, Gauss · Congruences et Z/nZ · Nombres premiers — $20x + 19y = 40$ , $x^2 - y^2 = 40$ , parité, décomposition en facteurs premiers, $6n = (n+1)^3 + (n-1)^3 - n^3 - n^3$ , cubes modulo 9