AnnalesBaccalauréat

Bac Centres étrangers Terminale 2025 — Jour 2, 13 juin 2025

Suite géométrique et suite récurrente, fonction exponentielle et valeur moyenne, dénombrement et loi binomiale, géométrie dans l'espace · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice compare deux modèles d'une population animale : une suite géométrique de raison $0{,}93$ , puis la suite $v_{n+1} = -0{,}05v_n^2 + 1{,}1v_n$ , dont on montre par récurrence qu'elle décroît et converge, avant de chercher des seuils par une inéquation, par la calculatrice et par un programme Python. Le deuxième détermine les constantes de $f(x) = \frac{1}{a + \mathrm{e}^{-bx}}$ à partir de sa limite en $+\infty$ et d'une tangente, étudie $f(x) = \frac{1}{1 + \mathrm{e}^{-0{,}2x}}$ , applique le théorème des valeurs intermédiaires et calcule sa valeur moyenne sur $[0, 40]$ . Le troisième dénombre des séquences de quatre caractères du codage base64, puis étudie le nombre de caractères mal transmis par une loi binomiale et l'espérance et la variance d'une somme de quatre variables indépendantes. Le quatrième établit une équation du plan $(ABC)$ , étudie deux plans sécants et leur droite d'intersection, et montre que cette droite est incluse dans $(ABC)$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Suite géométrique, suite récurrente de second degré, récurrence, limite et algorithme de comparaison p. 1–2

Suites numériques · Suites arithmétiques et géométriques · Second degré · Fonctions exponentielle et logarithme · Informatique et algorithmique — suite géométrique de raison $0{,}93$ , $v_{n+1} = -0{,}05v_n^2 + 1{,}1v_n$ , $2 \leqslant v_{n+1} \leqslant v_n \leqslant 6$ , raisonnement par récurrence, limite par $f(\ell) = \ell$ , inéquation avec logarithme, programme Python à compléter, comparaison de deux modèles

Exercice 2 — Fonction définie à l'aide de l'exponentielle : paramètres déterminés par une limite et une tangente, variations, théorème des valeurs intermédiaires et valeur moyenne p. 2–3

Dérivabilité · Fonctions exponentielle et logarithme · Continuité · Intégrale sur un segment · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = \frac{1}{a + \mathrm{e}^{-bx}}$ , tangente en $A$ , asymptote horizontale, $f(x) = \frac{1}{1 + \mathrm{e}^{-0{,}2x}}$ , théorème des valeurs intermédiaires, primitive de la forme $\frac{u'}{u}$ , valeur moyenne sur $[0, 40]$

Exercice 3 — Dénombrement de séquences, loi binomiale et espérance et variance d'une somme de variables indépendantes p. 3–4

Dénombrement et combinatoire · Lois de Bernoulli et binomiale · Couples et sommes de variables aléatoires · Espérance, variance, moments · Coefficients binomiaux — codage base64, 4-uplets, arrangements, passage au complémentaire, $\mathcal{B}(250\,;\,0{,}01)$ , $S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4$ , espérance et variance d'une somme

Exercice 4 — Géométrie dans l'espace : équation de plan, plans sécants et droite d'intersection p. 4–5

Géométrie vectorielle dans l'espace — vecteur normal, équation cartésienne $-x + y + 4z - 11 = 0$ , plans sécants, orthogonalité de deux plans, droite d'intersection de deux plans, représentation paramétrique, droite incluse dans un plan

Dans l'édifice

Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Anneaux de polynômes Exponentielle et logarithme Théorème de définition par récurrence Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Limite d'une fonction en un point Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Espaces vectoriels et sous-espaces