AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2013 — Session normale, 20 juin 2013

Formule de Bayes et loi binomiale, fonction logarithme et dichotomie, vrai-faux complexes et espace, suite arithmético-géométrique ou diagonalisation · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

L'exercice 1 traite la provenance d'arbres par un arbre pondéré et la formule de Bayes, puis une loi binomiale. L'exercice 2 détermine $f(x) = \frac{a + b\ln x}{x}$ à partir de sa courbe, l'étudie, encadre par dichotomie les solutions de $f(x) = 1$ et démontre que la courbe partage un rectangle en deux domaines de même aire. L'exercice 3 est un vrai-faux sur des nombres complexes, l'orthogonalité dans un cube et une droite perpendiculaire à un plan. L'exercice 4 étudie soit la suite $u_{n+1} = \frac{2}{3}u_n + \frac{1}{3}n + 1$ par la suite géométrique $v_n = u_n - n$ , ainsi que la somme de ses termes, soit, en spécialité, des migrations entre ville et campagne par une matrice $2 \times 2$ diagonalisée.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Formule de Bayes et loi binomiale : provenance de plants d'arbres p. 1

Probabilités totales et formule de Bayes · Lois de Bernoulli et binomiale — arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle inverse, loi binomiale, $P(X = 5)$ , au moins deux arbres feuillus

Exercice 2 — Fonction $x \mapsto \frac{a + b\ln x}{x}$ : variations, dichotomie et aire p. 1–3

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Continuité · Intégrale sur un segment · Informatique et algorithmique — lecture graphique de $f(1)$ et $f'(1)$ , théorème des valeurs intermédiaires, dichotomie, algorithme, $\int_{1/\mathrm{e}}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x = 1$ , partage d'une aire

Exercice 3 — Vrai-faux : ensembles de points en complexes, puissance d'un complexe, orthogonalité dans l'espace p. 4

Nombres complexes · Géométrie vectorielle dans l'espace — vrai ou faux, $|z - \mathrm{i}| = |z + 1|$ , $\left(1 + \mathrm{i}\sqrt{3}\right)^4$ , orthogonalité de deux droites, cube, droite perpendiculaire à un plan

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Suite arithmético-géométrique avec terme en $n$ et somme des termes p. 5

Suites arithmétiques et géométriques — $u_{n+1} = \frac{2}{3}u_n + \frac{1}{3}n + 1$ , raisonnement par récurrence, $v_n = u_n - n$ , $u_n = 2\left(\frac{2}{3}\right)^n + n$ , somme des termes, limite de $\frac{S_n}{n^2}$

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Migrations ville-campagne et diagonalisation d'une matrice p. 5–6

Calcul matriciel · Diagonalisation · Suites numériques — $X_{n+1} = AX_n$ , matrice inverse, $P^{-1}AP = D$ , $A^n = PD^nP^{-1}$ , raisonnement par récurrence, répartition à long terme

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Exponentielle et logarithme Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Théorème de définition par récurrence Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Espaces vectoriels et sous-espaces Suites réelles et limites Matrices d'une application linéaire Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ