AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2024 — Jour 2 (remplacement), 12 septembre 2024 (Métropole, Antilles-Guyane)

Cube : volume du tétraèdre $HFIJ$ , déplacements d'un robot : arbre pondéré, suite arithmético-géométrique et loi binomiale, fonction logistique $\frac{6}{1 + 5\mathrm{e}^{-x}}$ et équation $y' = y - \frac{1}{6}y^2$ , vrai-faux (Python, somme géométrique, dénombrement, intégrale) · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice calcule dans un cube l'aire du triangle $FIJ$ , une équation du plan $(FIJ)$ et la distance de $H$ à ce plan, pour obtenir le volume du tétraèdre $HFIJ$ . Le deuxième modélise les déplacements d'un robot par un arbre pondéré, établit $p_{n+1} = \frac{1}{4}p_n + \frac{1}{2}$ , étudie cette suite par récurrence et par une suite géométrique auxiliaire, puis utilise une loi binomiale pour la probabilité de retour au point de départ après dix déplacements indépendants. Le troisième étudie la fonction $f(x) = \frac{6}{1 + 5\mathrm{e}^{-x}}$ (asymptote, variations, point d'inflexion, primitive et aire), puis montre qu'elle est solution de l'équation $y' = y - \frac{1}{6}y^2$ , dont il obtient d'autres solutions par le changement de fonction $h = \frac{1}{g}$ . Le quatrième est un vrai-faux sur un script Python de seuil, la limite d'une somme géométrique, le nombre de binômes dans une classe, une équation avec logarithme et une intégrale.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Cube : aire du triangle $FIJ$ , distance de $H$ au plan $(FIJ)$ et volume du tétraèdre $HFIJ$ p. 1–2

Géométrie vectorielle dans l'espace — cube, milieu d'un segment, vecteurs orthogonaux, aire du triangle $FIJ$ , vecteur normal, équation cartésienne $4x - y - 2z - 2 = 0$ , distance d'un point à un plan, volume du tétraèdre $HFIJ$

Exercice 2 — Déplacements d'un robot : arbre pondéré, suite arithmético-géométrique et loi binomiale p. 2–3

Conditionnement et indépendance · Suites arithmétiques et géométriques · Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle inversée, $p_{n+1} = \frac{1}{4}p_n + \frac{1}{2}$ , raisonnement par récurrence, suite géométrique $u_n = p_n - \frac{2}{3}$ , retour au point de départ

Exercice 3 — Fonction logistique $\frac{6}{1 + 5\mathrm{e}^{-x}}$ , primitive et aire, équation différentielle $y' = y - \frac{1}{6}y^2$ p. 3–4

Dérivabilité · Fonctions convexes · Équations différentielles non linéaires · Équations différentielles linéaires · Fonctions exponentielle et logarithme · Intégrale sur un segment · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = \frac{6}{1 + 5\mathrm{e}^{-x}}$ , asymptote horizontale, point d'inflexion, primitive $F_k(x) = k\ln(\mathrm{e}^x + 5)$ , aire sous une courbe, $y' = y - \frac{1}{6}y^2$ , $y' = -y + \frac{1}{6}$ , changement de fonction $h = \frac{1}{g}$

Exercice 4 — Vrai-faux : script Python de seuil, somme géométrique, dénombrement, équation avec logarithme et intégrale p. 5

Suites arithmétiques et géométriques · Coefficients binomiaux · Intégrale sur un segment · Informatique et algorithmique · Fonctions exponentielle et logarithme · Continuité — vrai-faux, boucle while en Python, $S_n = 1 + \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{5^n}$ , nombre de binômes, $f(x) = x(\ln x)^2$ , $\int_0^1 x\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x$ , intégration par parties

Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces Indépendance d'événements et de tribus Suites réelles et limites Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Dérivabilité Théorème de Cauchy-Lipschitz local Solutions maximales et critère d'explosion Lemme de Grönwall et dépendance par rapport aux conditions initiales Flot d'un champ de vecteurs Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Exponentielle et logarithme Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Limite d'une fonction en un point Ensembles finis et principe des tiroirs Théorème de définition par récurrence Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine