AnnalesBaccalauréat

Bac Nouvelle-Calédonie Terminale 2025 — Jour 1, 20 novembre 2025

Probabilités conditionnelles, espérance, variance et inégalité de Bienaymé-Tchebychev, géométrie dans l'espace, fonction exponentielle et suite d'intégrales, vrai-faux d'analyse et de dénombrement · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice décrit un tirage dans un sac puis dans une urne par un arbre pondéré et une probabilité conditionnelle inverse, calcule l'espérance et la variance du gain $X_1$ , puis celles de sommes de gains indépendants, et applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la somme $Z$ de cent gains. Le deuxième montre qu'un triangle $ABC$ est rectangle, détermine le projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(ABC)$ et en déduit le volume de la pyramide $ABCD$ et la distance de $A$ au plan $(BCD)$ . Le troisième étudie $f_1(x) = x\mathrm{e}^{1-x}$ , puis la suite d'intégrales $u_n = \int_0^1 x^n\mathrm{e}^{1-x}\,\mathrm{d}x$ : monotonie, relation de récurrence par intégration par parties, script Python et limite par majoration. Le quatrième est un vrai-faux sur une limite, une équation différentielle, le sens de variation d'une suite récurrente, une convexité et un nombre d'anagrammes.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Arbre pondéré, probabilité conditionnelle inverse, espérance et variance d'une somme, inégalité de Bienaymé-Tchebychev p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Espérance, variance, moments · Couples et sommes de variables aléatoires · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, sac et urnes, probabilité conditionnelle inverse, espérance et variance de $X_1$ , $Y = X_1 + X_2$ , $Z = X_1 + X_2 + \dots + X_{100}$ , inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Exercice 2 — Géométrie dans l'espace : triangle rectangle, projeté orthogonal, volume d'une pyramide et distance à un plan p. 2

Géométrie vectorielle dans l'espace — triangle rectangle, équation cartésienne $x - y - 8 = 0$ , droite orthogonale à un plan, projeté orthogonal, volume d'une pyramide, distance d'un point au plan $(BCD)$

Exercice 3 — Étude de fonction exponentielle, théorème des valeurs intermédiaires et suite d'intégrales p. 3–4

Dérivabilité · Continuité · Intégrale sur un segment · Suites numériques · Fonctions exponentielle et logarithme · Informatique et algorithmique — $f_n(x) = x^n\mathrm{e}^{1-x}$ , théorème des valeurs intermédiaires, $u_n = \int_0^1 x^n\mathrm{e}^{1-x}\,\mathrm{d}x$ , intégration par parties, $u_{n+1} = (n + 1)u_n - 1$ , script Python, $u_n \leqslant \frac{\mathrm{e}}{n + 1}$ , théorème des gendarmes

Exercice 4 — Vrai-faux : limite, équation différentielle, suite récurrente, convexité et anagrammes p. 4–5

Équations différentielles linéaires · Suites numériques · Fonctions convexes · Dénombrement et combinatoire · Limites de fonctions et asymptotes · Fonctions trigonométriques · Fonctions exponentielle et logarithme — vrai-faux, limite de $\ln(x) - x^2$ , $-2y' + 3y = \sin x + 8\cos x$ , $u_{n+1} = \ln(3u_n + 1) + 8$ , sens de variation d'une suite, $k(x) = x^4 + x^2 + h(x)$ , anagrammes

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Espaces vectoriels et sous-espaces Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Exponentielle et logarithme Théorème de définition par récurrence Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Limite d'une fonction en un point Fonctions trigonométriques