AnnalesBaccalauréat

Bac Polynésie Terminale 2015 — Session normale, 12 juin 2015

Section d'un pavé par un plan, transformation complexe du second degré, loi normale et probabilité conditionnelle, fonction exponentielle d'un toboggan, suite récurrente avec logarithme ou puissances d'une matrice · 7 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice détermine une équation du plan $(IJG)$ dans un pavé droit, son intersection avec une arête et la section du pavé. Le deuxième étudie la transformation $z' = z^2 + 4z + 3$ , ses points invariants, un triangle équilatéral et l'ensemble des points dont l'image est réelle, et le troisième combine deux lois normales et une probabilité conditionnelle. Le quatrième modélise un toboggan par $f(x) = (ax+b)\mathrm{e}^{-x}$ , calcule l'aire d'un mur par une primitive et contrôle la pente à l'aide de $\tan\alpha = |f'(x)|$ . Au choix, les non-spécialistes déterminent la limite de la somme $S_n$ des termes de la suite $v_{n+1} = \ln(2 - \mathrm{e}^{-v_n})$ grâce à la suite auxiliaire $u_n = \mathrm{e}^{v_n}$ , et les spécialistes expriment $A^n$ à partir de la relation $A^2 = A + 2I$ et de suites géométriques.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Pavé droit : vecteur normal, équation de plan et section p. 1–7

Géométrie vectorielle dans l'espace — $\vec{n}(2 ; 2 ; -9)$ , vecteur normal, équation cartésienne d'un plan, intersection d'une droite et d'un plan, section d'un pavé par un plan

Exercice 2 — Transformation $z' = z^2 + 4z + 3$ : points invariants, triangle équilatéral et ensemble de points p. 1–2

Nombres complexes · Second degré — $z' = z^2 + 4z + 3$ , points invariants, forme exponentielle, triangle équilatéral, ensemble de points, partie imaginaire

Exercice 3 — Lois normales des tailles et probabilité conditionnelle p. 2

Loi normale et vecteurs gaussiens · Probabilités totales et formule de Bayes — loi normale, probabilités totales, probabilité conditionnelle, inversion du conditionnement

Exercice 4 — Fonction $(ax+b)\mathrm{e}^{-x}$ : tangente horizontale, aire par primitive et pente maximale p. 2–4

Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Fonctions exponentielle et logarithme · Fonctions trigonométriques — $f(x) = (ax+b)\mathrm{e}^{-x}$ , tangente horizontale, $f(x) = 10x\mathrm{e}^{-x}$ , primitive, aire sous une courbe, $\tan\alpha = |f'(x)|$ , variations de la dérivée

Exercice 5 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Suite récurrente avec logarithme, suite auxiliaire et limite d'une somme p. 4–5

Suites numériques · Fonctions exponentielle et logarithme · Informatique et algorithmique — $v_{n+1} = \ln(2 - \mathrm{e}^{-v_n})$ , $u_n = \mathrm{e}^{v_n}$ , $u_n = \frac{n+1}{n}$ , raisonnement par récurrence, somme télescopique, $S_n = \sum_{k=1}^{n} v_k$ , conjecture par algorithme

Exercice 5 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Puissances d'une matrice par la relation $A^2 = A + 2I$ et suites géométriques p. 5–6

Calcul matriciel · Suites arithmétiques et géométriques · Polynômes d'endomorphismes — $A^2 = A + 2I$ , $A^n = r_nA + s_nI$ , suites couplées, raisonnement par récurrence, suite géométrique de raison $-1$ , coefficients de $A^n$

Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Anneaux de polynômes La loi normale Indépendance d'événements et de tribus Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Exponentielle et logarithme Fonctions trigonométriques Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème de définition par récurrence Matrices d'une application linéaire Applications linéaires