AnnalesBaccalauréat

Bac Pondichéry Terminale 2014 — Session normale, 8 avril 2014

Loi exponentielle et intervalle de fluctuation, vrai-faux sur suites, logarithme et plans, suite géométrique complexe ou suites de matrices, fonction exponentielle et aire · 8 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie la durée de vie d'un moteur suivant une loi exponentielle, avec la propriété d'absence de mémoire et l'espérance, puis teste un pourcentage de défauts par intervalle de fluctuation. Le deuxième exercice est un vrai-faux sur les suites croissantes, la fonction $g(x) = 2x\ln(2x+1)$ et l'orthogonalité de deux plans. Au choix, les non-spécialistes étudient la suite $z_{n+1} = \left(\frac{3}{4} + \mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{4}\right)z_n$ , dont le module forme une suite géométrique, et les spécialistes modélisent le choix entre trois marques par la relation matricielle $U_{n+1} = AU_n + B$ . Le dernier exercice identifie la courbe d'une dérivée, détermine $f(x) = \mathrm{e}^{-x} + ax + b$ et calcule l'aire d'un logo entre la courbe et sa tangente.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Loi exponentielle, absence de mémoire, espérance et intervalle de fluctuation p. 1

Loi exponentielle · Statistique : estimation et tests · Espérance, variance, moments · Conditionnement et indépendance — loi exponentielle, absence de mémoire, $P_{X \geqslant t}(X \geqslant t + h) = P(X \geqslant h)$ , durée de vie moyenne, intervalle de fluctuation

Exercice 2 — Vrai-faux : suites, logarithme, tangente et position relative de deux plans p. 1–2

Suites numériques · Fonctions exponentielle et logarithme · Géométrie vectorielle dans l'espace · Dérivabilité — vrai-faux, suite positive croissante, $g(x) = 2x\ln(2x+1)$ , coefficient directeur d'une tangente, position relative de deux plans, vecteurs normaux

Exercice 3 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Suite géométrique de nombres complexes, module et algorithme de seuil p. 2–3

Nombres complexes · Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique — forme exponentielle, module, suite géométrique, algorithme de seuil, triangle rectangle, points sur l'axe des ordonnées

Exercice 3 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Évolution de parts de marché par suite de matrices $U_{n+1} = AU_n + B$ p. 3–4

Calcul matriciel · Chaînes de Markov · Informatique et algorithmique — $U_{n+1} = AU_n + B$ , matrice inverse, état stable, probabilités de transition, algorithme matriciel

Exercice 4 — Courbe d'une dérivée, étude de $\mathrm{e}^{-x} + ax + b$ , position par rapport à la tangente et aire p. 4–7

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Limites de fonctions et asymptotes — lecture graphique de la dérivée, équation de tangente, détermination de paramètres, position relative courbe-tangente, aire entre une courbe et une droite

Dans l'édifice

Lois de Poisson et loi exponentielle Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Indépendance d'événements et de tribus Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Exponentielle et logarithme Espaces vectoriels et sous-espaces Dérivabilité Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Théorème de définition par récurrence Matrices d'une application linéaire Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Limite d'une fonction en un point