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CAPES externe 2011 — Écrit disciplinaire

Construction de triangles ; théorème des valeurs intermédiaires ; polynômes de Laguerre · 6 pages

Le sujet comporte trois problèmes. Le premier cherche, $B$ , $C$ et $M$ étant donnés, les points $A$ tels que $M$ soit le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit, l'orthocentre ou le centre du cercle inscrit du triangle $ABC$ . Le deuxième démontre le théorème des valeurs intermédiaires par dichotomie, ses applications (point fixe, formule de la moyenne, cordes horizontales) et étudie la réciproque ( $\sin(1/x)$ , théorème de Darboux sur les dérivées). Le troisième étudie les polynômes de Laguerre $L_n = e^x \left(x^n e^{-x}\right)^{(n)}/n!$ : relations de récurrence, équation différentielle, une identité binomiale obtenue par développements limités et l'orthonormalité pour le poids $e^{-x}$ .

Le sujet, partie par partie

Problème 1 — Construction de triangles p. 2

Géométrie affine et euclidienne — centre de gravité, cercle circonscrit, orthocentre, cercle inscrit, construction à la règle et au compas, nombre de solutions

Problème 2 — Autour du théorème des valeurs intermédiaires p. 2–5

Continuité · Suites numériques · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Points fixes et suites itératives — théorème des valeurs intermédiaires, dichotomie, suites adjacentes, théorème de Darboux, formule de la moyenne, théorème des cordes, fonction $\sin(1/x)$ , propriété des valeurs intermédiaires

Problème 3, Partie I — Étude de la famille des polynômes de Laguerre p. 5

Polynômes de Laguerre · Dérivabilité · Informatique et algorithmique · Équations différentielles linéaires — polynômes de Laguerre, formule de Rodrigues, relation de récurrence à trois termes, équation différentielle de Laguerre, dérivée $n$ -ième, calcul formel

Problème 3, Parties II et III — Somme de coefficients binomiaux et orthonormalité p. 6

Polynômes de Laguerre · Coefficients binomiaux · Développements limités · Intégrales généralisées et intégrabilité · Espaces préhilbertiens et euclidiens — formule de Leibniz, développement limité d'une dérivée, identité binomiale, produit scalaire à poids $e^{-x}$ , famille orthonormée, intégrations par parties