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CAPES externe 2017 — Écrit disciplinaire

Le réseau $\mathbb{Z}^2$ et ses isométries ; une équation fonctionnelle · 6 pages

Le premier problème caractérise les $\mathbb{Z}$ -bases du réseau $\mathbb{Z}^2$ (matrices à coefficients entiers de déterminant $\pm 1$ , vecteurs à coordonnées premières entre elles), puis les applications linéaires qui conservent le réseau, et montre que toute isométrie affine du plan qui le préserve s'écrit de façon unique comme composée d'une translation de vecteur entier et d'un élément d'un groupe fini à huit éléments fixant l'origine. Il en déduit un pavage du plan par des triangles et étudie un sous-groupe et des frises. Le second problème détermine les fonctions $f$ de $\left]0, +\infty\right[$ dans lui-même vérifiant $f(x f(y)) = y f(x)$ et bornées sur $\left[1, +\infty\right[$ : la seule solution est $x \mapsto 1/x$ .

Le sujet, partie par partie

Problème 1, Partie A — $\mathbb{Z}$ -bases du réseau p. 1–2

Réseaux euclidiens · PGCD, Bézout, Gauss · Déterminants · Calcul matriciel — réseau $\mathbb{Z}^2$ , $\mathbb{Z}$ -base, matrice entière de déterminant $\pm 1$ , $\mathrm{GL}_2$ de $\mathbb{Z}$ , vecteurs premiers entre eux, théorème de Bézout

Problème 1, Partie B — Transformations linéaires du réseau p. 2

Réseaux euclidiens · Groupes de matrices · Applications linéaires et rang · Déterminants — application linéaire conservant le réseau, matrice inverse à coefficients entiers, $\mathrm{GL}_2$ de $\mathbb{Z}$ , déterminant $\pm 1$

Problème 1, Partie C — Isométries du réseau p. 3

Isométries et groupe orthogonal · Groupes · Géométrie affine et euclidienne · Matrices orthogonales et rotations · Réseaux euclidiens — isométries affines, groupe diédral d'ordre 8, symétries orthogonales, rotations, translations, sous-groupe

Problème 1, Parties D et E — Pavage du plan, sous-groupe et frises p. 4–5

Géométrie affine et euclidienne · Isométries et groupe orthogonal · Groupes · Actions de groupes — pavage du plan, triangle fondamental, frise, groupe de frise, symétries centrales, translations

Problème 2 — Une équation fonctionnelle p. 5–6

Équations fonctionnelles · Suites numériques — équation fonctionnelle, involution, injectivité, fonction multiplicative, points fixes, fonction inverse

Dans l'édifice

Division euclidienne Espaces vectoriels et sous-espaces PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Matrices d'une application linéaire Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème de Cartan-von Neumann Applications linéaires Théorème du rang Groupes Sous-groupes Morphismes de groupes Groupe quotient Continuité Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ