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CAPES externe 2018 — Écrit disciplinaire

Suites adjacentes, écriture binaire et développement dyadique · 6 pages

Le sujet traite des suites adjacentes, qu'il applique à l'approximation et à l'irrationalité de $e$ ainsi qu'au calcul de $\ln 2$ comme somme de la série harmonique alternée. Il établit l'existence et l'unicité de l'écriture en base deux d'un entier (algorithmes de conversion, méthode de Hörner), puis étudie les nombres dyadiques, leurs développements dyadiques finis et illimités (propres ou impropres) et la densité de $D_2$ et de son complémentaire dans $\mathbb{R}$ . Il termine en caractérisant, à l'aide du développement dyadique de $\theta$ , la convergence de la suite $\cos(2^n \pi\theta)$ .

Le sujet, partie par partie

Partie A — Suites adjacentes p. 1–2

Suites numériques · Irrationalité et approximation diophantienne · Séries entières · Séries alternées · Intégrale sur un segment — suites adjacentes, irrationalité de $e$ , reste intégral, développement en série entière de $\ln(1 + x)$ , série harmonique alternée, valeur approchée de $e$

Partie B — Écriture d'un entier en base deux p. 2–3

Numération et écriture en base b · Arithmétique des entiers · Informatique et algorithmique · Polynômes — écriture en base deux, division euclidienne, méthode de Hörner, algorithme, nombre d'opérations

Partie C — Nombres dyadiques p. 3–4

Numération et écriture en base b · Nombres rationnels et décimaux · Arithmétique des entiers — nombres dyadiques, développement dyadique, partie entière, inclusion stricte

Partie D — Développement dyadique illimité p. 4–5

Numération et écriture en base b · Densité · Suites numériques · Nombres rationnels et décimaux · Séries numériques · Informatique et algorithmique — développement dyadique propre, développement dyadique impropre, suites adjacentes, densité des nombres dyadiques, série géométrique, partie entière

Partie E — Suite extraite de la suite $(\cos(n\pi\theta))$ p. 6

Suites numériques · Numération et écriture en base b · Nombres rationnels et décimaux — suite extraite, formules trigonométriques, suite récurrente, convergence, développement dyadique, $\cos(2^n \pi\theta)$