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CAPES externe 2020 — Écrit disciplinaire

Barycentres, polynômes de Bernstein et courbes de Bézier · 14 pages

Le sujet construit le barycentre d'un système de points pondérés et en établit l'homogénéité, l'associativité et la conservation par les applications affines. Il étudie les polynômes de Bernstein (partition de l'unité, récurrences, maximum en $k/n$ , base de $\mathbb{R}_n[X]$ formée de vecteurs propres d'un endomorphisme diagonalisable), puis les courbes de Bézier qu'ils définissent : tangentes aux extrémités, effet du déplacement d'un point de contrôle, algorithme de Casteljau. Il classe enfin, à l'aide du groupe des isométries du carré, les courbes de Bézier dont les points de contrôle sont les sommets d'un carré, et étudie le raccordement lisse ou $\mathcal{C}^1$ de deux courbes.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie A — Barycentres p. 5–7

Géométrie affine et euclidienne · Applications linéaires et rang — barycentre, points pondérés, associativité du barycentre, médianes d'un triangle, application affine, partie linéaire

Partie B — Polynômes de Bernstein p. 7–9

Polynômes · Diagonalisation · Coefficients binomiaux · Dérivabilité · Espaces vectoriels et dimension — polynômes de Bernstein, partition de l'unité, relation de récurrence, maximum d'une fonction polynomiale, base de $\mathbb{R}_n[X]$ , endomorphisme diagonalisable

Partie C — Courbes de Bézier p. 9–10

Courbes et surfaces · Géométrie affine et euclidienne · Polynômes · Dérivabilité — courbe de Bézier, points de contrôle, vecteur tangent, image par une application affine, translation d'un point de contrôle

Partie D — Algorithme de Casteljau p. 10–11

Courbes et surfaces · Géométrie affine et euclidienne · Informatique et algorithmique · Coefficients binomiaux — algorithme de Casteljau, barycentres itérés, construction géométrique, récurrence double

Partie E — Points de contrôle aux sommets d'un carré p. 12–13

Isométries et groupe orthogonal · Groupe symétrique · Courbes et surfaces · Groupes · Géométrie affine et euclidienne — isométries du carré, groupe diédral, table de groupe, permutations, courbe paramétrée, similitude

Partie F — Raccordement de courbes de Bézier p. 13–14

Courbes et surfaces · Dérivabilité · Géométrie affine et euclidienne — raccordement lisse, demi-tangente, paramétrage de classe $\mathcal{C}^1$ , courbe de Bézier quadratique