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CCINP MP 2013 — Maths 2

Points entiers sur une hyperbole ; matrices « toutes-puissantes » · 5 pages

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Un exercice fait tracer l'hyperbole $x^2 - 13y^2 = 1$ et chercher par algorithme ses points à coordonnées entières avec $y \leqslant 200$ . Le problème appelle « toute-puissante » une matrice $A$ admettant pour tout $n \geqslant 1$ une racine $n$ -ième $B$ ( $A = B^n$ ) : après des exemples et contre-exemples (taille 1, déterminant, rotation, nilpotentes), il ramène par les sous-espaces caractéristiques le cas d'un polynôme caractéristique scindé aux blocs $\lambda I + N$ , traite les matrices unipotentes $I + N$ grâce au développement limité de $(1 + x)^{1/n}$ , et conclut que toute matrice inversible de $\mathcal{M}_p(\mathbb{C})$ est toute-puissante sur $\mathbb{C}$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice — Points à coordonnées entières sur une hyperbole p. 2

Coniques et quadriques · Équation de Pell-Fermat · Informatique et algorithmique · Courbes et surfaces — équation de Pell-Fermat, hyperbole, asymptotes, points entiers, algorithme de recherche

Notations et Partie I — Quelques exemples p. 2–3

Calcul matriciel · Nombres complexes · Diagonalisation · Nilpotents, Jordan, Dunford · Matrices orthogonales et rotations · Déterminants — racine $n$ -ième d'une matrice, racines $n$ -ièmes d'un complexe, rotation vectorielle, matrice nilpotente, déterminant d'une puissance

Partie II — Le cas où le polynôme caractéristique est scindé p. 4

Polynômes d'endomorphismes · Sous-espaces stables · Nilpotents, Jordan, Dunford · Matrices par blocs · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton — sous-espaces caractéristiques, lemme des noyaux, endomorphismes qui commutent, endomorphisme induit, matrice diagonale par blocs

Partie III — Le cas des matrices unipotentes p. 4–5

Nilpotents, Jordan, Dunford · Développements limités · Polynômes · Polynômes d'endomorphismes — matrice unipotente, développement limité de $(1+x)^\alpha$ , division euclidienne, racine $n$ -ième d'une matrice inversible, polynôme de matrice

Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces Entiers algébriques Anneaux d'entiers des corps quadratiques Entiers de Gauss et théorème des deux carrés Théorème de définition par récurrence Sous-variétés de ℝⁿ Espace tangent à une sous-variété Matrices d'une application linéaire Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Applications linéaires Anneaux de polynômes Dérivabilité