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CCINP MP 2016 — Maths 2

Algorithme d'Euclide, matrices annulées par $X^3 + X^2 + X$ , interpolation et polynômes de Hermite · 8 pages

Le sujet comporte deux exercices et un problème indépendants. Le premier exercice programme en Python le calcul du pgcd par recherche exhaustive et par l'algorithme d'Euclide (itératif et récursif) et compare leurs nombres de divisions sur deux nombres de Fibonacci consécutifs ; le second montre qu'une matrice réelle vérifiant $A^3 + A^2 + A = 0$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ et que son déterminant vaut $1$ si elle est inversible. Le problème établit l'existence et l'unicité du polynôme d'interpolation de Hermite avec une formule explicite, puis étudie les polynômes de Hermite définis par $H_{n+1} = X H_n - H_n'$ , qui forment une base orthogonale pour le poids gaussien et ont $n$ racines réelles distinctes.

Le sujet, partie par partie

Exercice I — Informatique : algorithmes de calcul du pgcd p. 2

Informatique et algorithmique · PGCD, Bézout, Gauss · Suites récurrentes linéaires · Équivalents et comparaison — algorithme d'Euclide, fonction récursive, suite de Fibonacci, nombre de divisions euclidiennes, nombre d'or, Python

Exercice II — Matrices annulées par $X^3 + X^2 + X$ p. 3

Diagonalisation · Polynômes d'endomorphismes · Nombres complexes · Déterminants — polynôme annulateur, polynôme scindé à racines simples, racines cubiques de l'unité, déterminant d'une matrice réelle

Problème III, première partie — Questions préliminaires p. 3

Polynômes · Fractions rationnelles · PGCD, Bézout, Gauss · Racines et relations coefficients-racines — polynômes premiers entre eux, théorème de Gauss, dérivée logarithmique, racines communes

Problème III, deuxième partie — Interpolation de Hermite p. 4

Interpolation polynomiale · Applications linéaires et rang · Polynômes · Dérivabilité · Racines et relations coefficients-racines — interpolation d'Hermite, racine double, formule de Taylor pour les polynômes, isomorphisme d'interpolation, polynômes de degré au plus $2p - 1$ , formule explicite

Problème III, troisième partie — Polynômes de Hermite p. 5

Polynômes de Hermite · Projection orthogonale et moindres carrés · Intégrales généralisées et intégrabilité · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Racines et relations coefficients-racines · Loi normale et vecteurs gaussiens — polynômes de Hermite, poids gaussien, base orthogonale, distance à un sous-espace, racines réelles distinctes, intégration par parties

Dans l'édifice

Théorème de définition par récurrence PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Suites réelles et limites Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Anneaux de polynômes Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Corps des fractions d'un anneau intègre Théorème du rang Dérivabilité Espaces de Hilbert et théorème de projection Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de représentation de Riesz La loi normale