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CCINP MPI 2023 — Maths 1

Norme subordonnée, point critique et formule des compléments · 8 pages

Le premier exercice montre que la norme subordonnée à la norme infinie d'une matrice est le maximum des sommes des modules des coefficients d'une ligne ; le second établit que $f(x,y) = x^2-2xy+2y^2+e^{-x}$ a un unique point critique, qui est un minimum local. Le problème calcule $\int_0^{+\infty} x^{\alpha-1}/(1+x) \,\mathrm{d}x = \pi/\sin(\alpha\pi)$ par une série et la convergence dominée, puis, par une intégrale à paramètre solution d'une équation différentielle linéaire, démontre la formule des compléments $\Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha) = \pi/\sin(\alpha\pi)$ et en déduit l'intégrale de Gauss.

Le sujet, partie par partie

Exercice I — Norme subordonnée à la norme infinie p. 2

Normes subordonnées et applications linéaires continues · Calcul matriciel — norme d'opérateur, sphère unité, maximum des sommes des lignes

Exercice II — Point critique et hessienne p. 3

Points critiques et hessienne · Continuité — matrice hessienne, extremum local, équation $e^{-x} = x$

Problème, Partie I — Calcul d'une intégrale à l'aide d'une série p. 3–4

Convergence dominée · Intégrales généralisées et intégrabilité · Convergence uniforme et normale · Séries de Fourier — théorème de convergence dominée, intégrale de $x^{\alpha-1}/(1+x)$ , développement en série de Fourier admis

Problème, Partie II — Lien avec la fonction Gamma p. 4–5

Intégrales à paramètre · Fonctions Gamma et Bêta · Intégrales généralisées et intégrabilité — fonction Gamma, continuité sous l'intégrale, dérivation sous l'intégrale

Problème, Partie III — Vers la formule des compléments p. 5

Fonctions Gamma et Bêta · Équations différentielles linéaires · Intégrales à paramètre — formule des compléments, intégrale de Gauss, équation différentielle linéaire du premier ordre

Dans l'édifice

Applications linéaires continues et dual topologique Matrices d'une application linéaire Applications différentiables Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Théorème de convergence dominée Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Systèmes linéaires et exponentielle de matrices