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CCINP PC 2023 — Mathématiques

Endomorphisme cyclique, fonction dilogarithme et jeu de société · 8 pages

Trois exercices indépendants. Le premier étudie les endomorphismes cycliques (exemples, opérateur $\Delta(P) = P(X+1) - P(X)$ , déterminant de Vandermonde) et montre qu'un endomorphisme diagonalisable est cyclique si et seulement s'il a $n$ valeurs propres distinctes. Le deuxième étudie la fonction dilogarithme $L(x) = \sum x^n/n^2$ , ses relations fonctionnelles et l'identité $L(x) + L(1-x) + \ln x \ln(1-x) = \pi^2/6$ ; le troisième étudie le nombre de tours nécessaires pour atteindre une case donnée lorsqu'on avance à chaque tour d'un entier tiré uniformément, à l'aide de fonctions génératrices.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Endomorphisme cyclique p. 2–3

Endomorphismes cycliques et matrice compagnon · Diagonalisation · Polynômes d'endomorphismes · Déterminants · Matrices remarquables — endomorphisme cyclique, déterminant de Vandermonde, opérateur de différence, valeurs propres distinctes, polynôme annulateur

Exercice 2 — La fonction dilogarithme p. 4–5

Intégrales à paramètre · Séries entières · Fonction zêta de Riemann · Intégrales généralisées et intégrabilité · Interversion des limites — dilogarithme, développement en série entière, relation fonctionnelle, $\zeta(2) = \pi^2/6$

Exercice 3 — Un jeu de société p. 6–8

Fonctions génératrices · Lois de Bernoulli et binomiale · Marches aléatoires · Séries entières · Coefficients binomiaux · Espérance, variance, moments — temps d'atteinte, loi uniforme, fonction génératrice, espérance comme somme des $P(T > n)$

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Anneaux de polynômes Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques La fonction zêta de Riemann et son prolongement Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Indépendance d'événements et de tribus Ensembles finis et principe des tiroirs Espérance, variance et inégalités