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CCINP PSI 2018 — Mathématiques

Équation d'Euler, équation de Bessel et loi forte des grands nombres · 8 pages

Deux problèmes indépendants. Le premier étudie l'équation $x^2 y'' + a x y' + b y = 0$ : solutions polynomiales via l'opérateur $P \mapsto XP'$ (diagonalisable sur $\mathbb{R}_n[X]$ ), résolution sur $\left]0, +\infty\right[$ par le changement de variable $x = e^t$ , puis, pour l'équation de Bessel $x^2 y'' + x y' + x^2 y = 0$ , construction de $J_0$ en série entière, inversion d'une série entière non nulle en $0$ et obtention d'une seconde solution de la forme $\eta(x) + J_0(x) \ln(x)$ . Le second démontre, pour des variables i.i.d. centrées à valeurs dans $[-1, 1]$ , la majoration $P(|S_n| \geqslant \varepsilon) \leqslant 2e^{-n\varepsilon^2/2}$ (inégalités de Markov et de type Hoeffding) puis la convergence presque sûre de $S_n$ vers $0$ , cas particulier de la loi forte des grands nombres.

Le sujet, partie par partie

Problème 1, Partie I — Endomorphismes p. 2–3

Diagonalisation · Polynômes d'endomorphismes · Applications linéaires et rang · Polynômes · Calcul matriciel — opérateur $P \mapsto XP'$ , espace des polynômes de degré au plus $n$ , endomorphisme induit, matrice dans la base canonique, solutions polynomiales

Problème 1, Partie II — Une équation différentielle p. 3

Équations linéaires d'ordre 2 · Équations différentielles linéaires — équation d'Euler, changement de variable $x = e^t$ , équation à coefficients constants, raccordement en $0$ , structure de l'ensemble des solutions

Problème 1, Partie III — Une équation de Bessel p. 3–5

Fonctions de Bessel · Séries entières · Équations linéaires d'ordre 2 · Familles sommables et produit de Cauchy · Séries formelles — équation de Bessel, fonction $J_0$ , rayon de convergence, inverse d'une série entière, produit de Cauchy, méthode de variation de la constante

Problème 2 — Un cas particulier de la loi forte des grands nombres p. 6–8

Lois des grands nombres · Inégalités de concentration · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Lemme de Borel-Cantelli et événements asymptotiques · Fonctions convexes · Espérance, variance, moments — loi forte des grands nombres, inégalité de Markov, inégalité de Hoeffding, convergence presque sûre, cosinus hyperbolique, intersection décroissante d'événements

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Anneaux de polynômes Théorème du rang Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques La demi-droite achevée et les sommes positives Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Loi forte des grands nombres Moments exponentiels et inégalité de Hoeffding Espérance, variance et inégalités Lemmes de Borel-Cantelli Loi du 0-1 de Kolmogorov Dérivabilité