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CCINP PSI 2022 — Mathématiques

Intégrales de Gauss et théorème de Moivre-Laplace ; factorisation QR · 8 pages

Le premier problème calcule les intégrales de Wallis $I_m = \int_0^1 (1 - t^2)^{m/2} \,\mathrm{d}t$ , en déduit l'équivalent du coefficient binomial central, puis la valeur de l'intégrale de Gauss par convergence dominée. Après une majoration fine des quotients de coefficients binomiaux, il montre que l'histogramme renormalisé de la loi binomiale $\mathcal{B}(2n, 1/2)$ converge simplement vers la densité gaussienne, étape clé du théorème de Moivre-Laplace. Le second problème étudie les matrices de rang 1 et les matrices de Householder (projections et symétries orthogonales), puis démontre par récurrence que toute matrice carrée réelle admet une factorisation QR.

Le sujet, partie par partie

Problème 1, Parties I et II — Intégrales de Wallis et intégrale de Gauss p. 2–3

Intégrales généralisées et intégrabilité · Convergence dominée · Équivalents et comparaison · Coefficients binomiaux · Suites numériques — intégrales de Wallis, intégrale de Gauss, coefficient binomial central, convergence dominée, changement de variable

Problème 1, Parties III et IV — Vers le théorème de Moivre-Laplace p. 3–5

Lois de Bernoulli et binomiale · Théorème central limite et convergence en loi · Loi normale et vecteurs gaussiens · Développements limités · Équivalents et comparaison · Coefficients binomiaux — théorème de Moivre-Laplace, loi binomiale, fonction en escalier, convergence simple, densité gaussienne

Problème 2, Partie I — Matrices de rang 1 p. 6

Matrices remarquables · Nilpotents, Jordan, Dunford · Diagonalisation · Applications linéaires et rang — matrice de rang 1, $A = XY^\top$ , trace, matrice nilpotente, matrice diagonalisable

Problème 2, Parties II et III — Matrices de Householder et factorisation QR p. 7–8

Matrices orthogonales et rotations · Projection orthogonale et moindres carrés · Théorème spectral · Isométries et groupe orthogonal · Analyse numérique · Polynômes d'endomorphismes — matrices de Householder, symétrie orthogonale, réflexion, factorisation QR, matrice triangulaire supérieure, polynôme annulateur

Dans l'édifice

Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de convergence dominée Suites réelles et limites Ensembles finis et principe des tiroirs Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Théorème central limite (méthode de Lindeberg)La loi normale Dérivabilité Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Théorème du rang Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Espaces de Hilbert et théorème de projection Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème du point fixe de Banach Anneaux de polynômes