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Centrale-Supélec MP 2019 — Maths 2

Développement dyadique, loi uniforme et dénombrabilité · 4 pages

Le sujet calcule d'abord la fonction caractéristique de $X_n = \sum_{k=1}^n \varepsilon_k/2^k$ , où les $\varepsilon_k$ sont des signes indépendants équiprobables, sous la forme $\prod_{k=1}^n \cos(t/2^k)$ , et en tire la limite simple $\operatorname{sinc} t$ . Il étudie ensuite l'écriture binaire des entiers et des nombres dyadiques $D_n$ , montre que $Y_n = \sum_{k=1}^n U_k/2^k$ ( $U_k$ de Bernoulli de paramètre $1/2$ indépendantes) suit la loi uniforme sur $D_n$ , puis que $\mathbb{P}(Y_n \in I)$ tend vers la longueur de $I$ et que $\mathbb{E}(f(Y_n))$ converge pour $f$ continue, avec pour application le calcul de $\int_0^1 (t - 1)/\ln t \,\mathrm{d}t$ . Il se termine par l'argument diagonal de Cantor et la non-dénombrabilité de $\left[0, 1\right[$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Fonction caractéristique p. 1–2

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire · Convergence uniforme et normale · Produits infinis · Variables aléatoires et lois usuelles — fonction caractéristique, sinus cardinal, produit de cosinus, variable symétrique, convergence simple, variables de Rademacher

Partie II — Écriture binaire p. 2

Numération et écriture en base b · Arithmétique des entiers · Dénombrement et combinatoire — écriture binaire, nombres dyadiques, partie entière, approximation dyadique, bijection, récurrence

Partie III — Développement dyadique, loi et décomposition p. 3

Variables aléatoires et lois usuelles · Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Numération et écriture en base b — loi uniforme discrète, loi de Bernoulli, fonction de répartition, variables indépendantes, chiffres binaires aléatoires

Partie IV — Développement dyadique, étude asymptotique p. 3

Théorème central limite et convergence en loi · Suites et séries de fonctions · Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Intégrales généralisées et intégrabilité · Fonction caractéristique d'une variable aléatoire — convergence en loi, loi uniforme sur $[0, 1]$ , fonction de répartition, monotonie, intégrale de $(t - 1)/\ln t$

Partie V — Dénombrabilité p. 4

Ensembles et dénombrabilité · Séries numériques · Numération et écriture en base b — argument diagonal de Cantor, ensemble des parties de $\mathbb{N}$ , fonction indicatrice, développement binaire propre, non-dénombrabilité de $\mathbb{R}$