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Centrale-Supélec MPI 2023 — Maths 1

Sur le calcul ombral · 5 pages

Le sujet étudie les endomorphismes de $\mathbb{K}[X]$ qui commutent aux translations, montre qu'ils s'écrivent comme des séries en la dérivation $D$ (formule de Taylor généralisée) et introduit les endomorphismes delta. À chacun il associe une unique suite de polynômes de type binomial, $q_n(x + y) = \sum q_k(x) q_{n-k}(y)$ , dont $X^n/n!$ et les polynômes binomiaux $X(X - 1)\cdots(X - n + 1)/n!$ sont des exemples. Il établit une formule de récurrence à l'aide de la dérivée de Pincherle et l'applique aux polynômes de Laguerre de paramètre $-1$ , puis aux opérateurs ombraux.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Étude d'endomorphismes de $\mathbb{K}[X]$ p. 1–2

Applications linéaires et rang · Polynômes · Intégrales généralisées et intégrabilité · Fonctions Gamma et Bêta — opérateur de translation, endomorphisme de $\mathbb{K}[X]$ , opérateur intégral, intégrale de $e^{-t} t^k$ , injectivité et surjectivité

Partie II — Formule de Taylor pour les endomorphismes shift-invariants p. 2–3

Polynômes · Applications linéaires et rang · Nilpotents, Jordan, Dunford · Algèbres et sous-algèbres · Diagonalisation · Séries formelles — endomorphisme invariant par translation, formule de Taylor, opérateur de dérivation, commutant, endomorphisme delta, endomorphisme non diagonalisable

Partie III — Suite de polynômes associée à un endomorphisme delta p. 3–4

Polynômes · Coefficients binomiaux · Espaces vectoriels et dimension · Déterminants · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton — suite de polynômes de type binomial, polynômes binomiaux, base de $\mathbb{K}[X]$ , formule de Taylor généralisée, dérivation numérique, polynôme caractéristique

Partie IV — Un peu de calcul ombral p. 4–5

Polynômes de Laguerre · Polynômes · Applications linéaires et rang · Équations linéaires d'ordre 2 — calcul ombral, dérivée de Pincherle, polynômes de Laguerre, opérateur ombral, formule de récurrence, équation différentielle de Laguerre

Dans l'édifice

Applications linéaires Théorème du rang Anneaux de polynômes Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Matrices d'une application linéaire Modules sur un anneau commutatif Algèbre de Lie d'un sous-groupe fermé Séries entières et rayon de convergence Ensembles finis et principe des tiroirs Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Systèmes linéaires et exponentielle de matrices