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Centrale-Supélec PC 2014 — Maths 1

Jacobien, divergence, matrices jacobiennes symétriques, antisymétriques et orthogonales · 3 pages

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Le sujet interprète le jacobien en $0$ comme limite de rapports de déterminants, donc comme facteur de dilatation des aires et des volumes, puis interprète la divergence d'un champ linéaire du plan par l'évolution de l'aire d'un parallélogramme transporté par le flot de $X' = AX$ . Il montre ensuite qu'une application de classe $\mathcal{C}^2$ à jacobienne partout antisymétrique est affine, qu'une jacobienne partout symétrique caractérise les champs de gradients, et qu'une jacobienne partout orthogonale force $f$ à être une isométrie affine, ce qui équivaut à la commutation de $f$ avec le laplacien.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Une interprétation du jacobien p. 1–2

Calcul différentiel · Déterminants · Développements limités — matrice jacobienne, jacobien, multilinéarité du déterminant, aire d'un parallélogramme, volume d'un parallélépipède, règle de la chaîne

Partie II — Une interprétation de la divergence dans un cas particulier p. 2

Systèmes différentiels linéaires · Déterminants · Trigonalisation · Exponentielle de matrices · Calcul différentiel — divergence, système différentiel $X' = AX$ , wronskien, formule de Liouville, trajectoires, polynôme caractéristique scindé

Partie III — Matrice jacobienne symétrique, antisymétrique p. 3

Calcul différentiel · Formes différentielles et intégrales curvilignes · Intégrales à paramètre — théorème de Schwarz, matrice antisymétrique, champ de gradients, lemme de Poincaré, potentiel, application affine

Partie IV — Matrice jacobienne orthogonale p. 3

Calcul différentiel · Matrices orthogonales et rotations — matrice orthogonale, isométrie affine, laplacien, dérivées partielles secondes, théorème de Schwarz

Dans l'édifice

Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Dérivabilité Systèmes linéaires et exponentielle de matrices L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Matrices d'une application linéaire Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Formes différentielles et différentielle extérieure Intégrale d'une forme de degré 1 le long d'un chemin Lemme de Poincaré Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Le groupe linéaire et l'inversion des matrices