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Centrale-Supélec PC 2017 — Maths 1

Nombres de Stirling de seconde espèce et nombres de Bell · 3 pages

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Le sujet dénombre les partitions de $[\![1, n]\!]$ en $k$ parties, établit la récurrence $S(n, k) = S(n-1, k-1) + k S(n-1, k)$ et la programme en Python, puis étudie les nombres de Bell, dont la série génératrice exponentielle vaut $\exp(e^x - 1)$ . Il décompose $X^n$ sur la base des factorielles descendantes $H_k$ , obtient la série génératrice $(e^x - 1)^k/k!$ des $S(n, k)$ , relie les dérivées des fonctions génératrices aux moments et montre que $B_n$ est le moment d'ordre $n$ d'une loi de Poisson de paramètre $1$ . Il termine par les sommes de puissances $1^n + \dots + p^n$ via l'opérateur de différence $\Delta$ et prouve que les sommes de puissances impaires sont des polynômes en $p(p+1)/2$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I — Nombre de partitions en $k$ parties p. 1

Partitions et nombres combinatoires · Dénombrement et combinatoire · Informatique et algorithmique · Coefficients binomiaux — nombres de Stirling de seconde espèce, partitions d'un ensemble, relation de récurrence, fonction récursive, complexité, Python

Partie II — Nombres de Bell p. 1

Partitions et nombres combinatoires · Séries entières · Fonctions génératrices · Coefficients binomiaux · Équations différentielles linéaires — nombres de Bell, série génératrice exponentielle, rayon de convergence, équation différentielle, $\exp(e^x - 1)$

Partie III — Une suite de polynômes p. 2

Polynômes · Séries entières · Fonctions génératrices · Espaces vectoriels et dimension · Partitions et nombres combinatoires · Équations différentielles linéaires — factorielles descendantes, base de $\mathbb{R}_n[X]$ , nombres de Stirling, série génératrice, série du binôme

Partie IV — Fonctions génératrices p. 2

Fonctions génératrices · Espérance, variance, moments · Loi de Poisson · Séries entières — fonction génératrice d'une variable aléatoire, moments d'ordre $m$ , moments factoriels, loi de Poisson, nombres de Bell, formule de Dobinski

Partie V — Somme de puissances p. 3

Polynômes · Applications linéaires et rang · Comparaison série-intégrale · Équivalents et comparaison · Calcul matriciel — opérateur de différence, sommes de puissances, formule de Faulhaber, isomorphisme, matrice dans une base, équivalent par encadrement intégral