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Centrale-Supélec PC 2022 — Maths 2

Convergence des polynômes d'interpolation de Lagrange et phénomène de Runge · 5 pages

Le sujet étudie les polynômes de Lagrange, qui forment une base orthonormée pour un produit scalaire discret, puis les polynômes de Tchebychev, dont il établit la propriété de minimalité : un polynôme unitaire de degré $n$ a une norme uniforme sur $[-1, 1]$ au moins égale à $1/2^{n-1}$ . Il majore l'erreur d'interpolation d'une fonction de classe $\mathcal{C}^n$ et en déduit la convergence uniforme des polynômes interpolateurs pour l'exponentielle, pour $1/(1+x^2)$ sur un petit segment et pour une somme de série entière, avec un gain aux points de Tchebychev. Il montre enfin le phénomène de Runge : pour des points équirépartis, l'interpolation de $1/(\alpha^2+x^2)$ diverge en $x = 1$ quand $\alpha$ est petit.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Polynômes de Lagrange et de Tchebychev p. 1–2

Interpolation polynomiale · Polynômes de Tchebychev · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Coefficients binomiaux · Racines et relations coefficients-racines · Approximation des fonctions — polynômes de Lagrange, base orthonormée, produit scalaire discret, $T_n(\cos \theta) = \cos(n\theta)$ , propriété de minimalité de Tchebychev, polynôme unitaire

Partie II.A — Erreur d'interpolation d'une fonction de classe $\mathcal{C}^n$ p. 2–3

Interpolation polynomiale · Dérivabilité · Racines et relations coefficients-racines — polynôme interpolateur de Lagrange, théorème de Rolle généralisé, erreur d'interpolation, majoration de l'erreur

Partie II.B — Convergence uniforme des polynômes interpolateurs p. 3–4

Interpolation polynomiale · Convergence uniforme et normale · Séries entières · Polynômes de Tchebychev · Théorème de Weierstrass · Dérivabilité — convergence uniforme, fonction exponentielle, fonction $1/(1+x^2)$ , dérivées successives, points de Tchebychev, rayon de convergence

Partie III — Phénomène de Runge p. 4–5

Interpolation polynomiale · Intégrales généralisées et intégrabilité · Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Produits infinis · Nombres complexes · Racines et relations coefficients-racines — phénomène de Runge, intégrale de $\ln((1-t^2)/(\alpha^2+t^2))$ , sommes de Riemann, points équirépartis, divergence de l'interpolation

Dans l'édifice

Anneaux de polynômes Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Ensembles finis et principe des tiroirs Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Dérivabilité Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Intégrale de Riemann Suites, séries et parties compactes de ℂ Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle