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Centrale-Supélec PSI 2014 — Maths 2

Le groupe orthogonal généralisé $\mathrm{O}(1, p)$ et le groupe de Lorentz · 3 pages

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Le sujet étudie l'ensemble $\mathrm{O}(1, p)$ des matrices $L$ telles que ${}^t\!L \Delta L = \Delta$ , avec $\Delta = \operatorname{diag}(1, -1, \dots, -1)$ , c'est-à-dire le groupe des endomorphismes préservant la forme quadratique de signature $(1, p)$ . Il décrit $\mathrm{O}^+(1, 1)$ à l'aide des fonctions hyperboliques (matrices $L(\gamma)$ de coefficients $\operatorname{ch}\gamma$ , $\operatorname{sh}\gamma$ , avec $L(\gamma)L(\gamma') = L(\gamma + \gamma')$ ), montre qu'il est commutatif et formé de matrices diagonalisables dans une même base orthonormée, et étudie la compacité du sous-groupe des éléments de coefficient $\ell_{1,1} > 0$ . Il établit enfin, pour les éléments de $\mathrm{O}^+(1, 3)$ de coefficient $\ell_{1,1} > 0$ (sous-groupe du groupe de Lorentz $\mathrm{O}(1, 3)$ ), une décomposition standard $L =$ (rotation) $\times$ (transformation hyperbolique) $\times$ (rotation), avec des procédures Maple de construction.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Étude du groupe orthogonal généralisé $\mathrm{O}(1, p)$ p. 1–2

Groupes de matrices · Formes bilinéaires et quadratiques · Topologie, compacité, connexité · Matrices par blocs · Déterminants — groupe orthogonal généralisé, forme de Lorentz, forme quadratique, identité de polarisation, partie fermée, sous-groupe de $\mathrm{GL}_{p+1}(\mathbb{R})$

Partie II — Propriétés algébriques et géométriques du groupe $\mathrm{O}^+(1, 1)$ p. 2

Groupes de matrices · Diagonalisation · Compacité · Groupes · Groupes de Lie matriciels et algèbres de Lie — fonctions hyperboliques, cosinus hyperbolique, groupe commutatif, matrices diagonalisables, groupe non compact, paramétrage

Partie III — « Décomposition standard » d'un élément du groupe de Lorentz $\mathrm{O}(1, 3)$ p. 2–3

Groupes de matrices · Matrices orthogonales et rotations · Matrices par blocs · Informatique et algorithmique · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Groupes — groupe de Lorentz, $\mathrm{SO}(3)$ , rotation envoyant $u$ sur $v$ , décomposition standard, Maple, matrices par blocs

Dans l'édifice

Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème de Cartan-von Neumann Espace dual Espace topologique Compacité Caractérisations de la connexité Topologie de ℝ Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Groupes Sous-groupes Morphismes de groupes Groupe quotient Théorème de définition par récurrence Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz

Centrale-Supélec PSI 2014 — Maths 2

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Étude du groupe orthogonal généralisé O(1,p)\mathrm{O}(1, p) p. 1–2

Partie II — Propriétés algébriques et géométriques du groupe O+(1,1)\mathrm{O}^+(1, 1) p. 2

Partie III — « Décomposition standard » d'un élément du groupe de Lorentz O(1,3)\mathrm{O}(1, 3) p. 2–3

Dans l'édifice

Notations et Partie I — Étude du groupe orthogonal généralisé $\mathrm{O}(1, p)$ p. 1–2

Partie II — Propriétés algébriques et géométriques du groupe $\mathrm{O}^+(1, 1)$ p. 2

Partie III — « Décomposition standard » d'un élément du groupe de Lorentz $\mathrm{O}(1, 3)$ p. 2–3