AnnalesÉcoles d'ingénieurs

Centrale-Supélec PSI 2025 — Maths 2

Attribution d'une valeur à des séries divergentes · 6 pages

Le sujet justifie de plusieurs manières la valeur $-1/12$ attribuée à la série divergente $1 + 2 + 3 + \cdots$ : par le développement asymptotique de la somme de $n e^{-nx}$ , puis par une régularisation à l'aide d'une fonction à support compact et des sommes de Riemann. Il établit la formule d'Euler-Maclaurin avec les polynômes de Bernoulli, définit la somme de Ramanujan d'une série, et généralise enfin la formule de Taylor à des familles de polynômes d'Appell (Bernoulli, Euler) jusqu'à la formule d'Euler-Boole.

Le sujet, partie par partie

Partie A (I) — Une première approche p. 1

Séries numériques · Développements limités · Interversion des limites — séries divergentes, somme $1+2+3+\dots$ , série géométrique, développement limité, régularisation exponentielle

Partie A (II) — Sommes de Riemann et développement asymptotique p. 1–3

Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Développements asymptotiques · Dérivabilité · Séries numériques — sommes de Riemann, formule de Taylor avec reste intégral, fonctions à support compact, régularisation, valeur $-1/12$

Partie B — Les sommes infinies au sens de Ramanujan p. 3–4

Formule d'Euler-Maclaurin et sommation · Polynômes et nombres de Bernoulli · Intégrale sur un segment · Intégrales généralisées et intégrabilité · Comparaison série-intégrale — formule d'Euler-Maclaurin, polynômes de Bernoulli, nombres de Bernoulli, sommation de Ramanujan, constante de Ramanujan

Partie C — Développements tayloriens généralisés p. 4–5

Séries entières · Polynômes et nombres de Bernoulli · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Dualité · Équations différentielles linéaires · Fonctions génératrices · Dérivabilité — polynômes d'Euler, formule d'Euler-Boole, série génératrice, formes linéaires continues, formule de Taylor généralisée, polynômes d'Appell

Dans l'édifice

Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Dérivabilité Une série entière est holomorphe Intégrale de Riemann Sommation d'Abel et intégrales impropres Anneaux de polynômes Théorème fondamental de l'analyse Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Séries entières et rayon de convergence Les fonctions holomorphes sont analytiques Applications linéaires continues et dual topologique Espace dual Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition