AnnalesÉcoles d'ingénieurs

e3a-Polytech MP 2018 — Maths 2

Moyenne arithmético-géométrique et intégrales elliptiques · 5 pages

Le sujet définit la moyenne arithmético-géométrique $M(a, b)$ comme limite commune de deux suites adjacentes, puis démontre la formule de Gauss $M(a, b) = \pi/(2I(a, b))$ où $I(a, b)$ est l'intégrale de $1/\sqrt{(a^2+t^2)(b^2+t^2)}$ sur $\left]0, +\infty\right[$ , par un changement de variable qui laisse $I$ invariante. Il en déduit des équivalents de $f(x) = M(1, x)$ en $0$ et en $+\infty$ et l'allure de sa courbe, une écriture de $I(1, x)$ comme produit infini, puis le lien avec l'intégrale elliptique $K$ et son développement en série entière via les intégrales de Wallis, permettant d'exprimer $M(3, 5)$ par une série.

Le sujet, partie par partie

Partie I — La moyenne arithmético-géométrique p. 2

Suites numériques · Inégalité arithmético-géométrique — moyenne arithmético-géométrique, suites adjacentes, suites monotones, homogénéité

Partie II — Formule de Gauss p. 2

Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrales à paramètre · Suites numériques · Continuité — formule de Gauss, changement de variable, intégrale invariante, continuité d'une intégrale à paramètre

Partie III — Étude de la fonction $f = M(1, \cdot)$ p. 3

Équivalents et comparaison · Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrales à paramètre · Continuité · Dérivabilité — équivalent en $0$ , argument sinus hyperbolique, branche infinie, prolongement par continuité, tangente verticale

Partie IV — Une écriture en produit infini p. 3

Produits infinis · Suites numériques · Intégrales généralisées et intégrabilité — produit infini, suite récurrente, relation de Landen, convergence d'un produit

Partie V — Intégrale elliptique et série entière p. 3–4

Séries entières · Interversion des limites · Intégrale sur un segment · Formule de Stirling · Coefficients binomiaux — intégrale elliptique complète, intégrales de Wallis, développement de $1/\sqrt{1-t}$ , intégration terme à terme

Dans l'édifice

Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Dérivabilité Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Suites, séries et parties compactes de ℂ Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Ensembles finis et principe des tiroirs