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e3a-Polytech PC 2015 — Maths 2

Développement en série entière de la tangente et polynômes de Bernoulli · 5 pages

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Le sujet exprime les dérivées successives de $\tan$ sous la forme $\tan^{(n)}(x) = T_n(\tan x)$ avec des polynômes $T_n$ à coefficients entiers naturels, puis montre, par un contrôle du reste intégral de Taylor valable pour les fonctions impaires à dérivées positives (théorème de Bernstein), que $\tan$ est développable en série entière sur $\left]-\pi/2, \pi/2\right[$ . Il construit ensuite les polynômes de Bernoulli $S_k$ ( $S_0 = 1$ , $S'_{k+1} = (k+1)S_k$ , intégrale nulle sur $[0, 1]$ ) à l'aide de l'endomorphisme $P \mapsto \int_x^{x+1} P$ , en déduit les nombres de Bernoulli $\sigma_k$ et leur relation de récurrence, et relie enfin les coefficients du développement de $\tan$ aux $\sigma_n$ par la série génératrice $z/(e^z - 1)$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I A — Dérivées successives de la tangente p. 2

Dérivabilité · Polynômes · Intégrale sur un segment · Suites numériques — fonction tangente, dérivée $n$ -ième, polynômes à coefficients entiers, relation de récurrence, formule de Taylor avec reste intégral

Partie I B — Fonctions absolument monotones et développement de $\tan$ p. 2–3

Séries entières · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Suites numériques — formule de Taylor avec reste intégral, théorème de Bernstein, fonction impaire, majoration du reste, développement en série entière de $\tan$ , rayon de convergence

Partie II A — L'endomorphisme $P \mapsto \int_x^{x+1} P$ p. 3–4

Applications linéaires et rang · Diagonalisation · Polynômes · Calcul matriciel · Trigonalisation — espace des polynômes de degré au plus $n$ , matrice dans la base canonique, automorphisme, endomorphisme non diagonalisable, matrice triangulaire, polynôme dérivé

Partie II B — Polynômes de Bernoulli p. 4

Polynômes et nombres de Bernoulli · Coefficients binomiaux · Informatique et algorithmique · Polynômes — polynômes de Bernoulli, nombres de Bernoulli, symétrie $S_m(1-x)$ , relation de récurrence des nombres de Bernoulli, programme Python

Partie III — Nombres de Bernoulli et coefficients de $\tan$ p. 5

Séries entières · Polynômes et nombres de Bernoulli · Nombres complexes · Fonctions génératrices — série génératrice des nombres de Bernoulli, $z/(e^z - 1)$ , disque de convergence, produit de séries entières, nombres tangents

Dans l'édifice

Dérivabilité Anneaux de polynômes Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Applications linéaires Théorème du rang Matrices d'une application linéaire Ensembles finis et principe des tiroirs Théorème de définition par récurrence Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition