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e3a-Polytech PC 2018 — Mathématiques

Trois exercices : matrices par blocs, nombres harmoniques et séries entières, minimum et maximum de tirages · 8 pages

Le premier exercice détermine les éléments propres de la matrice $A_n$ à diagonale nulle et coefficients 1 ailleurs, puis les valeurs propres des matrices par blocs $\begin{pmatrix} M & I_n \\ I_n & M \end{pmatrix}$ . Le deuxième étudie les séries entières $H$ , $S$ et $T$ construites sur les nombres harmoniques $h_n$ , relie leurs sommes à $\ln(1 - x)$ et établit $\pi^2/6 = S(y) + S(1 - y) + \ln(y) \ln(1 - y)$ pour en déduire $T(1/2)$ . Le troisième étudie le minimum $U_k$ et le maximum $V_k$ de $k$ tirages uniformes avec remise dans $\{1, \dots, N\}$ : espérances, variances, corrélation de $U_2$ et $V_2$ , simulation en Python et équivalents quand $N$ tend vers l'infini.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Matrices symétriques et matrices par blocs p. 2–3

Théorème spectral · Diagonalisation · Matrices par blocs · Déterminants · Espaces préhilbertiens et euclidiens — théorème spectral, matrice symétrique réelle, orthogonal d'un vecteur, valeurs propres, sous-espaces propres, matrice par blocs

Exercice 2 — Nombres harmoniques et séries entières p. 3–4

Séries entières · Intégrales généralisées et intégrabilité · Fonction zêta de Riemann · Interversion des limites · Séries numériques — nombres harmoniques, rayon de convergence, primitive d'une série entière, développement de $\ln(1 - x)$ , dilogarithme, intégration terme à terme

Exercice 3 — Minimum et maximum de tirages uniformes p. 5–6

Espérance, variance, moments · Covariance et corrélation · Couples et sommes de variables aléatoires · Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Équivalents et comparaison · Informatique et algorithmique — loi uniforme, minimum et maximum de variables aléatoires, tirages avec remise, coefficient de corrélation, simulation en Python, sommes de puissances

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Théorème de représentation de Riesz Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann La fonction zêta de Riemann et son prolongement Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Espérance, variance et inégalités Indépendance d'événements et de tribus Intégrale de Riemann Suites réelles et limites Théorème de définition par récurrence