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e3a-Polytech PC 2020 — Mathématiques

Cinq exercices d'algèbre, d'analyse et de probabilités · 4 pages

Le sujet réunit cinq exercices indépendants : la réduction d'une matrice $3 \times 3$ dépendant d'un paramètre, l'étude de l'intégrale à paramètre $f(x) = \int e^{-t}/(1 + xt) \,\mathrm{d}t$ sur $\left[0, +\infty\right[$ , une série entière définie par une récurrence résolue par produit de Cauchy, une matrice annulée par $2X^2 - 3X + 1$ avec une loi de probabilité vérifiant la même récurrence, et un produit scalaire sur $\mathbb{R}_2[X]$ avec projection orthogonale.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Réduction d'une matrice à paramètre p. 2

Diagonalisation · Trigonalisation — matrice diagonalisable, matrice semblable, réduite de Jordan, valeurs propres

Exercice 2 — Intégrale à paramètre p. 2

Intégrales à paramètre · Convergence dominée · Intégrales généralisées et intégrabilité — intégrale à paramètre, sens de variation, limite en l'infini, théorème de convergence dominée

Exercice 3 — Série entière définie par une récurrence p. 3

Séries entières · Suites numériques — rayon de convergence, produit de Cauchy, dérivée logarithmique, décomposition en éléments simples, récurrence

Exercice 4 — Matrice annulée par un polynôme et loi associée p. 4

Polynômes d'endomorphismes · Suites récurrentes linéaires · Espérance, variance, moments · Loi géométrique — polynôme annulateur, racine carrée de matrice, récurrence linéaire d'ordre 2, espérance, variance

Exercice 5 — Produit scalaire sur un espace de polynômes p. 4

Projection orthogonale et moindres carrés · Procédé de Gram-Schmidt · Espaces préhilbertiens et euclidiens — produit scalaire, base orthonormale, distance à un sous-espace, matrice d'une projection orthogonale

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Applications linéaires Anneaux de polynômes Espérance, variance et inégalités Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz