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e3a-Polytech PC 2025 — Mathématiques

Extrema sur un disque, équation différentielle, matrice $M_r$ et lois géométriques · 4 pages

Quatre exercices indépendants. Le premier détermine les extrema de $x^3 + y^2$ sur un disque fermé. Le deuxième résout une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à point singulier, par une série entière puis par un changement de fonction inconnue. Le troisième diagonalise la matrice dont tous les coefficients hors diagonale valent $r$ et détermine quand la forme bilinéaire associée est un produit scalaire. Le quatrième étudie la somme, le minimum et la différence de deux variables géométriques indépendantes.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Extrema d'une fonction de deux variables sur un disque p. 2

Extrema et optimisation · Points critiques et hessienne · Calcul différentiel · Compacité — point critique, extremum global, compacité, paramétrage du cercle

Exercice 2 — Une équation différentielle linéaire d'ordre 2 p. 2–3

Équations linéaires d'ordre 2 · Séries entières — solution développable en série entière, relation de récurrence sur les coefficients, changement de fonction inconnue, équation différentielle d'ordre 1, prolongement par continuité

Exercice 3 — Diagonalisation de $M_r$ et forme bilinéaire associée p. 3–4

Diagonalisation · Théorème spectral · Formes bilinéaires et quadratiques · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Matrices remarquables · Matrices orthogonales et rotations — matrice dont tous les coefficients valent 1, théorème spectral, matrice orthogonale, produit scalaire, forme bilinéaire symétrique

Exercice 4 — Deux variables géométriques indépendantes p. 4

Loi géométrique · Couples et sommes de variables aléatoires · Conditionnement et indépendance · Espérance, variance, moments — loi géométrique, somme de variables indépendantes, loi conditionnelle uniforme, minimum de deux variables, indépendance

Dans l'édifice

Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis Compacité Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Matrices d'une application linéaire Espaces de Hilbert et théorème de projection Espace dual Théorème de représentation de Riesz Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités