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e3a-Polytech PSI 2016 — Mathématiques

Séries, endomorphismes, programmation Python, projecteurs spectraux et variables aléatoires · 8 pages

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Le sujet comporte cinq exercices. Le premier compare les séries $\sum a_n$ et $\sum n(a_n - a_{n+1})$ (exemples $1/2^{n-1}$ et $1/(n \ln n)$ , puis cas d'une suite décroissante positive). Le deuxième étudie la dérivation et l'opérateur $f \mapsto \sum f(n+x)$ sur $\operatorname{Vect}(x^k e^{-x})$ , qui ne sont pas diagonalisables. Le troisième porte sur des programmes Python (test de primalité, nombres premiers jumeaux, fonction 91 de McCarthy). Le quatrième construit, pour une matrice à $n$ valeurs propres distinctes, les projecteurs $B_k = V_k\,{}^t\!W_k/({}^t\!V_k W_k)$ et calcule $\sum B_k$ , $\sum \lambda_k B_k$ et $\sum \lambda_k^r B_k$ . Le cinquième étudie $Y = \int_0^1 \max(X, t)\,\mathrm{d}t$ pour $X$ géométrique, binomiale ou à quatre valeurs, jusqu'au coefficient de corrélation de $X$ et $Y$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Séries $\sum a_n$ et $\sum n(a_n - a_{n+1})$ p. 2–3

Séries numériques · Séries entières · Comparaison série-intégrale · Suites numériques — transformation d'Abel, série de Bertrand, série géométrique dérivée, suite décroissante, sommes partielles

Exercice 2 — Endomorphismes d'un espace de fonctions $x^n e^{-x}$ p. 3

Applications linéaires et rang · Diagonalisation · Séries numériques · Calcul matriciel · Trigonalisation — opérateur de dérivation, matrice triangulaire, éléments propres, endomorphisme non diagonalisable, sommes d'une série de fonctions

Exercice 3 — Programmes Python p. 4–5

Informatique et algorithmique · Nombres premiers — Python, test de primalité, nombres premiers jumeaux, fonction récursive, fonction 91 de McCarthy

Exercice 4 — Préliminaires et projecteurs spectraux p. 5–6

Diagonalisation · Sous-espaces stables · Calcul matriciel · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Applications linéaires et rang — projecteurs spectraux, vecteurs propres de la transposée, matrice de rang 1, décomposition spectrale, endomorphisme induit

Exercice 5 — Variable aléatoire $Y = \int \max(X, t)\,\mathrm{d}t$ p. 6–7

Variables aléatoires et lois usuelles · Covariance et corrélation · Lois de Bernoulli et binomiale · Loi géométrique · Espérance, variance, moments · Intégrale sur un segment — fonction d'une variable aléatoire, loi d'une variable discrète, coefficient de corrélation, loi géométrique, loi binomiale

Dans l'édifice

Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Intégrale de Riemann Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Applications linéaires Théorème du rang Matrices d'une application linéaire Théorème de définition par récurrence Théorème fondamental de l'arithmétique Déterminant d'un endomorphisme Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Lois de Poisson et loi exponentielle Espérance, variance et inégalités Théorème fondamental de l'analyse