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e3a-Polytech PSI 2020 — Mathématiques

Quatre exercices : série alternée de fonctions, matrices à diagonale propre, intégrales impropres et fonctions périodiques, isométrie d'un plan · 4 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Le sujet comporte quatre exercices indépendants. Le premier étudie la série de fonctions de terme général $(-1)^n/\sqrt{1+nx}$ sur $\left[1, +\infty\right[$ et le développement asymptotique de sa somme ; le deuxième étudie les matrices « à diagonale propre », dont le polynôme caractéristique est le produit des $X - a_{ii}$ , calcule la probabilité qu'une matrice construite à partir de trois variables géométriques indépendantes le soit et détermine les matrices symétriques réelles à diagonale propre ; le troisième étudie la convergence de $\int_a^{+\infty} (\lambda - f(t))/t \,\mathrm{d}t$ pour $f$ périodique et en tire un équivalent de $\int_0^{\pi/2} |\sin(nt)|/\sin t \,\mathrm{d}t$ ; le quatrième montre qu'un endomorphisme du plan est une rotation pour un produit scalaire non usuel et détermine quand $f^m = \mathrm{id}$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Série de fonctions alternée p. 2

Convergence uniforme et normale · Séries alternées · Développements asymptotiques · Interversion des limites — convergence simple, convergence normale, convergence uniforme, théorème de la double limite, développement asymptotique, reste d'une série alternée

Exercice 2 — Matrices à diagonale propre p. 2–3

Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Théorème spectral · Loi géométrique · Couples et sommes de variables aléatoires · Calcul matriciel — polynôme caractéristique, trace de $A^\top A$ , matrice symétrique réelle, loi géométrique, événements incompatibles, matrice aléatoire

Exercice 3 — Intégrales impropres de fonctions périodiques p. 3–4

Intégrales généralisées et intégrabilité · Équivalents et comparaison · Intégrale sur un segment · Développements limités — intégrale impropre, fonction périodique, valeur moyenne, intégration par parties, équivalent d'une intégrale, intégrale de $|\sin(nt)|/\sin t$

Exercice 4 — Isométrie pour un produit scalaire non usuel p. 4

Isométries et groupe orthogonal · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Formes bilinéaires et quadratiques · Matrices orthogonales et rotations — forme bilinéaire symétrique, produit scalaire, base orthonormée, rotation du plan, ordre d'une rotation

Dans l'édifice

Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Suites, séries et parties compactes de ℂ Dérivabilité Une série entière est holomorphe Déterminant d'un endomorphisme Espaces de Hilbert et théorème de projection Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Indépendance d'événements et de tribus Matrices d'une application linéaire Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Suites réelles et limites Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème de représentation de Riesz Espace dual