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e3a-Polytech PSI 2025 — Mathématiques

Série de fonctions, polynômes de Hermite et matrice $M_r$ · 4 pages

Trois exercices indépendants. Le premier étudie la somme de la série de fonctions $\sum \exp(-x\sqrt{n})$ et une intégrale associée par intégration terme à terme. Le deuxième diagonalise l'endomorphisme $P \mapsto P'' - 4XP'$ , dont les vecteurs propres unitaires sont des polynômes de Hermite, et s'en sert pour trouver les points critiques d'une fonction de trois variables de type énergie logarithmique. Le troisième diagonalise la matrice dont tous les coefficients hors diagonale valent $r$ et résout le système différentiel associé.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Série de fonctions $\sum \exp(-x\sqrt{n})$ p. 2

Convergence uniforme et normale · Interversion des limites · Théorèmes de convergence intégrale · Séries numériques · Intégrales généralisées et intégrabilité — convergence normale, limite en l'infini, intégration terme à terme, série de fonctions

Exercice 2 — Polynômes de Hermite et points critiques p. 2–3

Diagonalisation · Polynômes de Hermite · Racines et relations coefficients-racines · Calcul différentiel · Points critiques et hessienne — polynômes de Hermite, endomorphisme différentiel sur les polynômes, diagonalisabilité, point critique, relations coefficients racines

Exercice 3 — Matrice $M_r$ et système différentiel p. 4

Diagonalisation · Systèmes différentiels linéaires · Matrices remarquables — matrice dont tous les coefficients valent $1$ , puissances d'une matrice, diagonalisation, système différentiel linéaire, $\operatorname{Im}$ et $\operatorname{Ker}$ orthogonaux

Dans l'édifice

Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Une série entière est holomorphe Théorème de convergence dominée Théorème de convergence monotone (Beppo Levi)Lemme de Fatou Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Matrices d'une application linéaire Anneaux de polynômes Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis Systèmes linéaires et exponentielle de matrices L'exponentielle, difféomorphisme local en 0