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Mines-Ponts MP 2026 — Maths 1

Équation d'Euler-Lagrange et quelques applications · 6 pages

Le sujet démontre le lemme fondamental du calcul des variations à l'aide de fonctions plateaux de classe $\mathcal{C}^\infty$ construites à partir de $x \mapsto e^{-1/x}$ , puis établit l'équation d'Euler-Lagrange vérifiée par un extremum local de $T(y) = \int f(x, y, y')$ , ainsi que l'identité de Beltrami. Il l'applique à trois problèmes classiques : le plus court chemin est un segment, la courbe de descente la plus rapide est une cycloïde, et le film de savon minimal entre deux cercles est une caténoïde.

Le sujet, partie par partie

I. Lemme fondamental du calcul variationnel p. 2–3

Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Polynômes · Calcul des variations — fonction plateau, fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ , $x \mapsto \exp(-1/x)$ , lemme fondamental du calcul des variations

II. Équation d'Euler-Lagrange p. 3–4

Calcul des variations · Calcul différentiel · Intégrales à paramètre · Compacité · Intégrale sur un segment — équation d'Euler-Lagrange, identité de Beltrami, calcul des variations, dérivation sous l'intégrale, intégration par parties

III. Le chemin le plus court est la ligne droite p. 4

Calcul des variations · Courbes et surfaces — longueur d'une courbe, plus court chemin, calcul des variations

IV. Le chemin le plus rapide est la cycloïde p. 4–5

Calcul des variations · Équations différentielles non linéaires · Courbes et surfaces · Dérivabilité — brachistochrone, cycloïde, courbe paramétrée, identité de Beltrami

V. La caténoïde p. 6

Calcul des variations · Équations différentielles non linéaires · Courbes et surfaces · Dérivabilité — caténoïde, surface minimale, film de savon, fonctions hyperboliques, argument cosinus hyperbolique

Dans l'édifice

Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Anneaux de polynômes Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Compacité Sous-variétés de ℝⁿ Espace tangent à une sous-variété Théorème de Cauchy-Lipschitz local Solutions maximales et critère d'explosion Lemme de Grönwall et dépendance par rapport aux conditions initiales Flot d'un champ de vecteurs