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Mines-Ponts PC 2012 — Maths 2

Équation de la chaleur · 4 pages

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Le sujet résout l'équation de la chaleur sur $[0, \pi]$ avec conditions de Dirichlet nulles et une condition initiale en triangle. Il détermine les valeurs propres $n^2$ du problème $v'' + \lambda v = 0$ , $v(0) = v(\pi) = 0$ , calcule la série de Fourier du prolongement impair de la donnée initiale, construit la solution comme série de fonctions et justifie sa régularité par convergence normale. Il établit enfin l'unicité de deux façons : par un principe du maximum et par la décroissance de l'énergie.

Le sujet, partie par partie

Partie 1 — Un problème aux valeurs propres p. 2

Problèmes aux limites, Sturm-Liouville · Équations linéaires d'ordre 2 · Intégrale sur un segment — problème aux limites, valeurs propres, intégration par parties, conditions de Dirichlet

Partie 2 — La série de Fourier de la condition initiale p. 2–3

Séries de Fourier · Convergence des séries de Fourier — prolongement impair, coefficients de Fourier, dérivée généralisée, convergence normale, fonction triangle

Partie 3 — Construction d'une solution p. 3

Équations aux dérivées partielles · Convergence uniforme et normale · Interversion des limites · Séries de Fourier — équation de la chaleur, séparation des variables, série de fonctions de deux variables, convergence normale, dérivation terme à terme

Partie 4 — Unicité de la solution p. 3–4

Équations aux dérivées partielles · Fonctions harmoniques · Dérivabilité · Intégrales à paramètre · Extrema et optimisation — principe du maximum, unicité, énergie, dérivée à gauche, dérivation sous le signe intégrale

Dans l'édifice

Théorème de Cauchy-Lipschitz local Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Fonctions de classe Cᵏ Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Une série entière est holomorphe Dérivabilité complexe Dérivabilité Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Applications différentiables