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Mines-Ponts PC 2017 — Maths 2

Première répétition · 6 pages

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Le sujet étudie l'exponentielle tronquée $T_n(x) = \sum_{k \leqslant n} n^k x^k/k!$ et montre, grâce à une formule de Taylor avec reste intégral, que $T_n(x)$ est équivalent à $e^{nx}$ pour $0 < x < 1$ et négligeable devant $e^{nx}$ pour $x > 1$ . Il établit la méthode de Laplace pour les intégrales $\int f(x)^n \,\mathrm{d}x$ , en déduit la formule de Stirling puis l'équivalent $T_n(1) \sim e^n/2$ . Il l'applique enfin au rang $X$ de la première répétition lors de tirages avec remise dans une urne à $n$ boules, dont l'espérance est équivalente à $\sqrt{\pi n/2}$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I — Exponentielle tronquée p. 2–3

Équivalents et comparaison · Dérivabilité · Intégrales généralisées et intégrabilité · Séries entières · Fonctions Gamma et Bêta · Suites numériques — exponentielle tronquée, formule de Taylor avec reste intégral, règle de d'Alembert, fonction Gamma, négligeabilité

Partie II — Méthode de Laplace p. 3–4

Méthode de Laplace et phase stationnaire · Convergence dominée · Développements limités · Fonctions spéciales — méthode de Laplace, intégrale de Gauss, théorème de convergence dominée, développement limité, majoration gaussienne, changement de variable

Partie III — Formule de Stirling p. 4–5

Formule de Stirling · Méthode de Laplace et phase stationnaire · Intégrales généralisées et intégrabilité · Fonctions Gamma et Bêta — formule de Stirling, intégrale eulérienne, équivalent de $n!$ , méthode de Laplace

Partie IV — Formule de Bernstein p. 5

Équivalents et comparaison · Méthode de Laplace et phase stationnaire · Intégrale sur un segment — reste de l'exponentielle tronquée, équivalent de $T_n(1)$ , formule de Taylor, changement de variable

Partie V — Première répétition p. 5–6

Espérance, variance, moments · Conditionnement et indépendance · Informatique et algorithmique · Formule de Stirling · Espaces probabilisés — paradoxe des anniversaires, tirages avec remise, probabilités composées, espérance par la queue, Python, équivalent de l'espérance

Dans l'édifice

Suites réelles et limites Dérivabilité Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème de convergence dominée La fonction zêta de Riemann et son prolongement Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Espérance, variance et inégalités Indépendance d'événements et de tribus Théorème de définition par récurrence Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles