AnnalesÉcoles d'ingénieurs

Mines-Ponts PC 2019 — Maths 1

Comportement asymptotique de sommes de séries entières · 6 pages

PDF hébergé hors du site officiel — source : archive officielle (ZIP)

Le sujet établit l'équivalent $S_{r,p}(x) \sim (1/p) x^r e^x$ quand $x \to +\infty$ , où $S_{r,p}(z) = \sum_{n \geqslant 1} (pn)^r z^{pn}/(pn)!$ . Le cas $p = 1$ est obtenu par une méthode probabiliste : avec $X_x$ de loi de Poisson de paramètre $x$ , on montre que $\mathbb{E}((X_x/x)^r)$ tend vers $1$ grâce à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et aux moments factoriels. Le cas $p \geqslant 2$ s'en déduit en montrant que $S_{r,1}(zx) = o(x^r e^x)$ pour $|z| = 1$ , $z \neq 1$ , par une transformation d'Abel, puis en sommant sur les racines $p$ -ièmes de l'unité. En application, la solution développable en série entière de $t x'' - x = 0$ avec $f'(0) = 1$ vérifie $f(t) \sim t^{1/4} e^{2\sqrt{t}}/(2\sqrt{\pi})$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I — Généralités, cas particuliers p. 2

Séries entières · Équivalents et comparaison — rayon de convergence, règle de d'Alembert, cosinus hyperbolique, exponentielle

Partie II — Une démonstration probabiliste de $H_{r,1}$ p. 2–3

Loi de Poisson · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Équivalents et comparaison · Espérance, variance, moments · Fonctions convexes · Polynômes — loi de Poisson, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, moments factoriels, factorielles descendantes, inégalité de concavité, moments d'ordre $r$

Partie III — Démonstration de $H_{r,p}$ pour $p \geqslant 2$ p. 3–5

Équivalents et comparaison · Séries entières · Nombres complexes · Séries numériques · Suites numériques — terme maximal d'une série entière, transformation d'Abel, sommation par parties, racines de l'unité, partie entière, négligeabilité

Partie IV — Application à une équation différentielle p. 5–6

Équations linéaires d'ordre 2 · Séries entières · Équivalents et comparaison · Formule de Stirling — solution développable en série entière, comparaison asymptotique des séries entières, équivalent d'une solution, coefficients factoriels

Dans l'édifice

Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Suites réelles et limites Lois de Poisson et loi exponentielle Espérance, variance et inégalités Dérivabilité Anneaux de polynômes Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Intégrale de Riemann