AnnalesÉcoles d'ingénieurs

Mines-Ponts PSI 2019 — Maths 1

Comportement asymptotique de sommes de séries entières · 6 pages

PDF hébergé hors du site officiel — source : archive officielle (ZIP)

Le sujet établit que $S_{r,p}(x) =$ somme des $(pn)^r x^{pn}/(pn)!$ est équivalente à $x^r e^x / p$ quand $x$ tend vers $+\infty$ . Le cas $p = 1$ est obtenu par une méthode probabiliste fondée sur la loi de Poisson et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, le cas $p \geqslant 2$ s'en déduit en majorant $S_{r,1}(zx)$ pour $|z| = 1$ , $z \neq 1$ , et en sommant sur les racines $p$ -ièmes de l'unité. On en tire un équivalent de la solution développable en série entière de $t x'' - x = 0$ avec $f'(0) = 1$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I — Généralités, cas particuliers p. 2

Séries entières · Équivalents et comparaison — rayon de convergence infini, règle de d'Alembert, cosinus hyperbolique, exponentielle

Partie II — Une démonstration probabiliste de $H_{r,1}$ p. 2–3

Loi de Poisson · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Espérance, variance, moments · Polynômes · Fonctions convexes · Séries entières — loi de Poisson, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, moments factoriels, formule de transfert, inégalité de concavité, moments d'ordre réel

Partie III — Démonstration de $H_{r,p}$ pour $p \geqslant 2$ p. 3–5

Équivalents et comparaison · Séries entières · Nombres complexes · Suites numériques · Séries numériques — terme maximal d'une série entière, transformation d'Abel, racines $p$ -ièmes de l'unité, négligeabilité, partie entière

Partie IV — Application à une équation différentielle p. 5–6

Équations linéaires d'ordre 2 · Séries entières · Formule de Stirling · Équivalents et comparaison — équation $t x'' - x = 0$ , solution développable en série entière, formule de Stirling, lemme de comparaison asymptotique des séries entières

Dans l'édifice

Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Suites réelles et limites Lois de Poisson et loi exponentielle Espérance, variance et inégalités Anneaux de polynômes Dérivabilité Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Intégrale de Riemann