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X-ENS MP 2014 — Maths C

Minima de Minkowski · 7 pages

Pour une matrice symétrique définie positive $M$ de taille 2, le sujet étudie les minima de Minkowski $\lambda_1(M) \leqslant \lambda_2(M)$ du réseau $\mathbb{Z}^2$ pour la norme $\|u\|_M$ . Il les encadre par les racines des valeurs propres de $M$ , prouve l'existence d'une base $M$ -réduite du réseau et l'encadrement $(2/\pi)\sqrt{\det M} \leqslant \lambda_1\lambda_2 \leqslant (8/\pi)\sqrt{\det M}$ par des arguments d'aires, puis montre que leurs valeurs moyennes après conjugaison par une rotation sont de l'ordre de $(\det M)^{1/4}$ . Il termine par la norme euclidienne des vecteurs d'une base réduite, uniformément et en moyenne.

Le sujet, partie par partie

Introduction et A — Préliminaires p. 1–2

Réseaux euclidiens · Matrices symétriques positives · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Intégrales multiples · Compacité — minima de Minkowski, matrice symétrique définie positive, norme associée à une matrice, aire d'une ellipse, valeurs propres, infimum atteint

B — Produit des minima de Minkowski p. 2–3

Réseaux euclidiens · Géométrie affine et euclidienne · Déterminants · Matrices symétriques positives — base du réseau $\mathbb{Z}^2$ , matrice à inverse entier, base réduite, aire d'un parallélogramme, déterminant de deux vecteurs, encadrement du produit des minima

C — Valeur moyenne des minima de Minkowski p. 4–6

Réseaux euclidiens · Intégrale sur un segment · Inégalités classiques · Continuité · Matrices orthogonales et rotations · Comparaison série-intégrale · Inégalité de Cauchy-Schwarz — continuité des minima, conjugaison par une rotation, valeur moyenne, concavité du sinus, dénombrement de points entiers, ordre de grandeur en racine quatrième du déterminant

D — Norme euclidienne des éléments d'une base réduite p. 7

Réseaux euclidiens · Inégalités classiques · Matrices symétriques positives — base réduite, conditionnement $\kappa(M)$ , borne uniforme, borne en moyenne, réduction de Gauss

Dans l'édifice

Division euclidienne Espaces vectoriels et sous-espaces Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Théorèmes de Tonelli et de Fubini Tribu produit et mesure produit Compacité Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Le groupe linéaire et l'inversion des matrices