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X-ENS MP 2014 — Maths D

Groupe symétrique, matrices monomiales et sous-groupes d'Heisenberg · 8 pages

Le sujet porte sur le groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ et sur le groupe $G_n$ des matrices monomiales. Il ordonne les partitions d'un ensemble fini, étudie les sous-groupes paraboliques de $\mathfrak{S}_n$ et leurs sous-groupes maximaux, puis montre que $G_n$ est le stabilisateur de l'algèbre des matrices diagonales et que tout automorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ est intérieur. Il décrit les automorphismes des produits d'algèbres de matrices pour établir qu'un sous-groupe fini $H$ de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ avec $[H, H] \subset \mathbb{C}^\times$ est conjugué à un sous-groupe de $G_n$ , et classe enfin les sous-groupes d'Heisenberg anisotropes de $\mathrm{GL}_p(\mathbb{C})$ pour $p$ premier.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Ordre sur les partitions p. 1–3

Partitions et nombres combinatoires · Dénombrement et combinatoire — partition d'un ensemble fini, partition plus fine, relation d'ordre partiel, plus petit élément, borne supérieure

Partie II — Sous-groupes paraboliques de $\mathfrak{S}_n$ p. 3–4

Groupe symétrique · Actions de groupes · Groupes · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Matrices remarquables — sous-groupe parabolique, décomposition en cycles à supports disjoints, action transitive, matrice de permutation, signature, polynôme caractéristique d'une matrice de permutation

Partie III — Sous-groupes maximaux p. 4–5

Groupe symétrique · Groupes · Actions de groupes — sous-groupe maximal, sous-groupe parabolique, stabilisateur d'une partie, transpositions

Partie IV — Matrices monomiales et automorphismes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ p. 5–6

Algèbres et sous-algèbres · Groupes de matrices · Groupes · Nombres complexes · Diagonalisation — automorphisme intérieur, matrices monomiales, algèbre des matrices diagonales, commutant, relation $AB = \omega BA$ , théorème de Skolem-Noether

Partie V — Automorphismes d'algèbres produits p. 6–7

Algèbres et sous-algèbres · Groupes de matrices · Diagonalisation · Groupe symétrique · Groupes — produit d'algèbres de matrices, idempotents, automorphismes d'algèbre, commutateurs, groupe abélien fini, codiagonalisation, théorème de Borel-Mostow

Partie VI — Sous-groupes d'Heisenberg p. 8

Groupes de matrices · Groupes · Sous-espaces stables · Représentations des groupes finis · Groupes cycliques et ordre — groupe d'Heisenberg, sous-groupe anisotrope, sous-espaces stables, ordre $n^3$ , nombre premier, conjugaison

Dans l'édifice

Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Groupe symétrique et signature Groupes Sous-groupes Morphismes de groupes Groupe quotient Déterminant d'un endomorphisme Matrices d'une application linéaire Modules sur un anneau commutatif Algèbre de Lie d'un sous-groupe fermé Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème de Cartan-von Neumann Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Applications linéaires