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X-ENS MP 2016 — Maths A

Points entiers des simplexes entiers · 6 pages

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Le sujet étudie les simplexes entiers de $\mathbb{R}^n$ et leurs points entiers intérieurs. Il caractérise $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ (matrices entières de déterminant $\pm 1$ ), construit une matrice entière de première colonne donnée et de déterminant le pgcd, et établit une forme triangulaire réduite (forme d'Hermite) par multiplication par $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ . Il en déduit une minoration du nombre de points intérieurs entiers d'un simplexe contenant $0$ dans son intérieur en fonction de son volume et de son coefficient de symétrie $a(S)$ , puis la finitude, à équivalence unimodulaire près, des simplexes entiers ayant exactement $k$ points intérieurs ; une dernière partie démontre les deux théorèmes admis (de type Blichfeldt, et borne sur le volume via une approximation diophantienne simultanée).

Le sujet, partie par partie

Notations et Première partie — Le groupe $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ et forme triangulaire p. 1–3

Groupes de matrices · Déterminants · PGCD, Bézout, Gauss · Calcul matriciel · Réseaux euclidiens — $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ , matrice unimodulaire, forme normale d'Hermite, transvections, pgcd de plusieurs entiers, division euclidienne

Deuxième partie — Volume et points intérieurs entiers p. 3–4

Polytopes et géométrie combinatoire · Ensembles convexes · Réseaux euclidiens · Compacité · Déterminants — simplexe entier, volume d'un simplexe, points entiers intérieurs, coefficient de symétrie, théorème de Blichfeldt, compact convexe

Troisième partie — Simplexes équivalents p. 4

Polytopes et géométrie combinatoire · Groupes de matrices · Réseaux euclidiens — simplexes équivalents, transformation unimodulaire, finitude à équivalence près, nombre de points intérieurs

Quatrième partie — Preuve des théorèmes admis p. 4–6

Polytopes et géométrie combinatoire · Irrationalité et approximation diophantienne · Réseaux euclidiens · Théorie de la mesure · Dénombrement et combinatoire — théorème de Blichfeldt, approximation diophantienne simultanée, principe des tiroirs, partie fractionnaire, mesure de Lebesgue, théorème de Hensley

Dans l'édifice

Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème de Cartan-von Neumann Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Matrices d'une application linéaire Division euclidienne Espaces vectoriels et sous-espaces Théorème de Hahn-Banach Compacité ℚ n'a pas la propriété de la borne supérieure Un corps ordonné complet est archimédien Tribus et tribu borélienne Mesures et premières propriétés La mesure de Lebesgue sur ℝ Fonctions mesurables Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances