AnnalesÉcoles d'ingénieurs

X-ENS MP 2018 — Maths C

Chaînes de Markov réversibles et semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck · 6 pages

Deux parties indépendantes. La première étudie une chaîne de Markov $X_n = F(X_{n-1}, U_n)$ de matrice de transition $P$ réversible par rapport à une probabilité $\pi$ : invariance et unicité de $\pi$ , irréductibilité, puis, sur un espace fini, symétrie de $P$ pour $\langle \cdot, \cdot \rangle_\pi$ et convergence géométrique de la loi de $X_n$ vers $\pi$ . La seconde étudie le noyau de la chaleur $\gamma_t$ et le semi-groupe $P_t f = \gamma_t * f$ , puis le semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck $Q_t$ , son générateur $Lf = f'' - xf'$ et démontre l'inégalité de Poincaré gaussienne $\operatorname{Var}(f) \leqslant \int f'^2 \,\mathrm{d}\gamma_1$ ainsi que la décroissance $\operatorname{Var}(Q_t f) \leqslant e^{-2t} \operatorname{Var}(f)$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I — Chaînes de Markov réversibles p. 1–3

Chaînes de Markov · Théorème spectral · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Conditionnement et indépendance · Matrices stochastiques et bistochastiques — chaîne de Markov réversible, matrice de transition, probabilité invariante, irréductibilité, trou spectral, convergence vers l'équilibre

Partie II-A — Noyau de la chaleur et convolution p. 4–5

Semi-groupes et générateurs · Intégrales à paramètre · Transformées de Fourier et de Laplace · Équations aux dérivées partielles · Loi normale et vecteurs gaussiens · Convergence dominée — noyau de la chaleur, produit de convolution, convolution de gaussiennes, équation de la chaleur, dérivation sous l'intégrale

Partie II-B — Semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck et inégalité de Poincaré p. 5–6

Semi-groupes et générateurs · Inégalités fonctionnelles · Intégrales à paramètre · Loi normale et vecteurs gaussiens · Intégrales multiples · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Équations aux dérivées partielles — semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck, inégalité de Poincaré gaussienne, mesure gaussienne, intégration par parties gaussienne, décroissance exponentielle de la variance

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Matrices d'une application linéaire Applications linéaires continues et dual topologique Théorème de Banach-Steinhaus Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Fonctions de classe Cᵏ La loi normale Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Théorèmes de Tonelli et de Fubini Tribu produit et mesure produit